sin2x)，x∈R.2004年
解答题
（17）（本小题满分12分）
设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，x∈R.
（Ⅰ）若f(x)=1-且x∈[-
，]，求x；
（Ⅱ）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|<
)平移后得到函数
y=f(x)的图象，求实数m、n的 值。
（18）（本小题满分12分）
甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能
答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随
机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。
（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。
（19）（本小题满分12分）
在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，
SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。
（20）（本小题满分12分）
某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能
力将逐年下降。若不能进行技术 改造，预测从今年起每年比上一年纯利
润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，
预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为
500(1+
)万元（n为正整
数）。
（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，
进行技术改造后的累计纯 利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计
纯利润超过不进行技术改造 的累计纯利润？
（21）（本小题满分14分）
已知f(x)=
(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数。
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=
的两个非零实根为x1、x2.试问：
是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]
恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。
（22）（本小题满分12分）
如图，P是抛物线C：y=
x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求
的取值范围.
2005年
解答题
17．（本小题满分12分）
已知
.
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求
的值.
18．（本小题满分12分）
甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为
，投中得1分，投不中得0分.
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；
19．（本小题满分12分）
已知函数
的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.
20．（本小题满分12分）
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，
F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.
21．（本小题满分12分）
已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和
椭圆C：
的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点
在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，
满足
cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；
若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分14分）
已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+
我们知道当a取不同的值时，得到不同
的数列，如当a=1时，得到无穷数列：
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=
，求证a取数列{bn}中的
任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；
（Ⅲ）若
，求a的取值范围.
2006年
解答题
（17）（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数
的最小正周期和单调增区间；
（II）函数
的图象可以由函数
的图象经过怎样的变换得到？
（18）（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：
平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
（19）（本小题满分12分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
（升）关于行驶
速度
（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆
的左焦点为F，O为坐标原点。
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线
相切的圆的方程；
（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分
线与
轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。
（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）求
在区间
上的最大值
（II）是否存在实数
使得
的图象与
的图象有且只有三
个不同的交点？若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由。
（22）（本小题满分14分）
已知数列
满足
（I）求数列
的通项公式；
（II）
若数列｜bn｜满足
，
证明：｜bn｜是等差数列
（Ⅲ）证明：
2007年
解答题
17．（本小题满分12分）
在
中，
，
．
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若
最大边的边长为
，求最小边的边长．
18．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱
的所有棱长都为
，
为
中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
C1
（Ⅲ）求点到平面
的距离．
B1
19．（本小题满分12分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司
交
元（
）的管理费，预计当每件产品的售价为
元（
）时，
一年的销售量为
万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润
（万元）与每件产品的售价
的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润
最大，
并求出
的最大值
．
20．（本小题满分12分）如图，已知点
，
直线
，
为平面上的动点，过
作直线
的垂线，垂足为点
，且
．
（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点
的直线交轨迹于
两点，交直线
于点
，
已知
，
，求
的值；
21．（本小题满分12分）
等差数列
的前
项和为
．
（Ⅰ）求数列
的通项
与前
项和
；
（Ⅱ）设
，求证：数列
中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
22．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若
，试确定函数
的单调区间；
（Ⅱ）若
，且对于任意
，
恒成立，试确定实数
的取值范围；
（Ⅲ）设函数
，求证：
．
2007年
解答题
17．（本小题满分12分）
在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．
18．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱的所有棱长都为
，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
C1
（Ⅲ）求点到平面的距离．
B1
19．（本小题满分12分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司
交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，
一年的销售量为万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，
并求出的最大值．
20．（本小题满分12分）如图，已知点，
直线，为平面上的动点，过作直线
的垂线，垂足为点，且．
（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点
的直线交轨迹
于
两点，交直线
于点
，
已知
，
，求
的值；
21．（本小题满分12分）
等差数列
的前
项和为
．
（Ⅰ）求数列
的通项
与前
项和
；
（Ⅱ）设
，求证：数列
中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
22．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若
，试确定函数
的单调区间；
（Ⅱ）若
，且对于任意
，
恒成立，试确定实数
的取值范围；
（Ⅲ）设函数
，求证：
．
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