解答题
(22)(本小题满分12分)
如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的
取值范围.
本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析
几何的基本思想和综合解题能力。满分12分.
解:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意x1≠0,y1>0,y2>0.
由y=x2, ①
得y'=x.
∴过点P的切线的斜率k切= x1,
∴直线l的斜率kl=-=-,
∴直线l的方程为y-x12=- (x-x1),
方法一:
联立①②消去y,得x2+x-x12-2=0.
∵M是PQ的中点
x0==-,
∴ y0=x12-(x0-x1).
消去x1,得y0=x02++1(x0≠0),
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
方法二:
由y1=x12,y2=x22,x0=,
得y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),
则x0==kl=-,
∴x1=-,
将上式代入②并整理,得
y0=x02++1(x0≠0),
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).
分别过P、Q作PP'⊥x轴,QQ'⊥y轴,垂足分别为P'、Q',则
.
y=x2
由 y=kx+b 消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0. ③
y1+y2=2(k2+b),
则 y1y2=b2.
方法一:
∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.
∵y1、y2可取一切不相等的正数,
∴的取值范围是(2,+).
方法二:
∴=|b|=|b|.
当b>0时,=b==+2>2;
当b<0时,=-b=.
又由方程③有两个相异实根,得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0,
于是k2+2b>0,即k2>-2b.
所以>=2.
∵当b>0时,可取一切正数,
∴的取值范围是(2,+).
方法三:
由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP,
即=.
则x1y2-bx1=x2y1-bx2,即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).
于是b==-x1x2.
∴==+=+≥2.
∵可取一切不等于1的正数,
∴的取值范围是(2,+).
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