三、解答题
(17)(本小题满分12分)
设数列满足
,
.
(Ⅰ)求数列的通项;
(Ⅱ)设,求数列
的前
项和
.
(18)(本小题满分12分)
设和
分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量
表示方程
实根的个数(重根按一个计).
(Ⅰ)求方程有实根的概率;
(Ⅱ)求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程有实根的概率.
(19)(本小题满分12分)
如图,在直四棱柱
中,已知
,
,
.
(Ⅰ)设是
的中点,求证:
平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(20)(本小题满分12分)
如图,甲船以每小时
海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线
航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西
方向的
处,此时两船
相距海里,当甲船航行
分钟到达
处时,
乙船航行到甲船的北偏西方向
的处,此时两船相距
海里,
问乙船每小时航行多少海里?
(21)(本小题满分12分)
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,椭圆
上的点到焦点距离的
最大值为,最小值为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
相交于
,
两点(
不是左右顶点),
且以为直径的圆过椭圆
的右顶点,求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
(22)(本小题满分14分)
设函数,其中
.
(Ⅰ)当时,判断函数
在定义域上的单调性;
(Ⅱ)求函数的极值点;
(Ⅲ)证明对任意的正整数,不等式
都成立.
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