解答题
全国卷Ⅰ(理)
21.(本小题满分12分)
设双曲线C:相交于两个不同的点A、B.
(I)求双曲线C的离心率e的取值范围:
(II)设直线l与y轴的交点为P,且求a的值.
全国卷Ⅱ(理)
21.(本小题满分12分)
给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点。
(Ⅰ)设l的斜率为1,求与的夹角的大小;
(Ⅱ)设,若λ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.
全国卷Ⅲ(理)
21.(本小题满分12分)设椭圆的两个焦点是与,
且椭圆上存在一点,使得直线与垂直.
(1)求实数的取值范围;
(2)设是相应于焦点的准线,直线与相交于点,若,
求直线的方程.
全国卷Ⅳ(理)
21.(本小题满分14分)
双曲线的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),
且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和求双
曲线的离心率e的取值范围.
天津卷(理)
21. (本小题满分12分)
已知定义在R上的函数和数列满足下列条件:
,
,其中a为常数,k为非零常数。
(1)令,证明数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)当时,求。
辽宁卷
21.(本小题满分14分)
已知函数的最大值不大于,又当
(1)求a的值;
(2)设
江苏卷
21.已知椭圆的中心在原点,离心率为 EQ \F(1,2) ,一个焦点是F(-m,0)
(m是大于0的常数).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点,且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若,
求直线的斜率.
浙江卷(理)
(21)(本题满分12分)
已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0)点P、Q在双
曲线的右支上,支M(m,0)到直线AP的距离为1。
(Ⅰ)若直线AP的斜率为k,且,求实数m的
取值范围;
(Ⅱ)当时,ΔAPQ的内心恰好是点M,求此双曲
线的方程。
福建卷(理)
(21)(本小题满分14分)
已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数。
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:
是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]
恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由。
湖北卷(理)
(21)(本小题满分12分)
某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3;一旦发生,
将造成400万元的损失。现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用。
单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元,采用相应预防
措施后此突发事件不发生的概率分别是0.9和0.85。若预防方案允许甲、乙
两种预防措施单独采用、联合采用或不采用,请确定预防方案使总费用最少。
(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值。)
湖南卷(理)
(21)(本小题满分12分)
如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线
交于A、B两点,点Q是点P关于原点的对称点。
(Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为λ,证明
(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处
有共同的切线,求圆C的方程。
重庆卷(理)
21.(本小题满分12分)
设是一常数,过点的直线与抛物线交于相异
两点A、B,以线段AB为直经作圆H(H为圆心)。试证抛物线顶点
在圆H的圆周上;并求圆H的面积最小时直线AB的方程。
解答
北京卷(理)
(19)(本小题满分12分)
某段城铁线路上依次有A、B、C三站,AB=15km,BC=3km,在列车运行
时刻表上,规定列车8时整从A站发车,8时07分到达B站并停车1分钟,8时12分
到达C站,在实际运行中,假设列车从A站正点发车,在B站停留1分钟,并在行
驶时以同一速度匀速行驶,列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时
间之差 的绝对值称为列车在该站的运行误差。
(I)分别写出列车在B、C两站的运行误差
(II)若要求列车在B,C两站的运行误差之和不超过2分钟,求的取值范围
上海卷(理)
21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分
如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上
的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.
(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
(1) 证明:P-ABC为正四面体;
(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的
大小;(结果用反三角函数值表示)
(3) 设棱台DEF-ABC的体积为V, 是
否存在体积为V且各棱长均相等的直
平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC
有相同的棱长和? 若存在,请具体构造
出这样的一个直平行六面体,并给出证
明;若不存在,请说明理由.
广东卷
21. (12分)设函数 其中常数m为整数.
(1) 当m为何值时,
(2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少
存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0.
试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,
在[e-m-m ,e2m-m ]内有两个实根.
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