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2026年高考数学新高考Ⅱ-17<-->2026年高考数学新高考Ⅱ-19
（17分）已知椭圆$E:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a > 1)$，过$E$的右焦点且与$x$轴垂直的直线被$E$截得的长度为$\sqrt{2}$．
（1）求$E$的离心率；
（2）$O$为坐标原点，给定点$G(t$，$0)(t\ne 0)$，$A(x_{0}$，$y_{0})(y_{0}\ne 0)$在$E$上，过点$A$作$y$轴的垂线，垂足为$B$，$AO$与$GB$交于点$P$．当$A$在$E$上运动时，$P$的轨迹为$M$．
$(i)$求$M$的方程；
$(ii)$当$t$为何值时，$M$有对称中心？当$M$有对称中心时，将$M$平移后得到曲线$M\prime$，使得$O$为$M\prime$的对称中心，并说明$M\prime$是什么曲线？
〖答案〗（1）$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）$(i)(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{{t}^{2}})x^{2}+y^{2}+\dfrac{2}{t}x-1=0(y\ne 0)$，
当$t=\pm \sqrt{2}$时，曲线$M$为抛物线（不含与$x$轴交点），当$t > \sqrt{2}$或$t < -\sqrt{2}$时，曲线$M$为椭圆（不含与$x$轴交点），当$-\sqrt{2} < t < 0$或$0 < t < \sqrt{2}$时，曲线$M$为双曲线（不含与$x$轴交点）；
$(ii)$当$t\ne \pm \sqrt{2}$时，轨迹$M$存在对称中心，$t\in (-\infty$，$-\sqrt{2})\bigcup (\sqrt{2}$，$+\infty )$时，$M\prime$为椭圆（不含与$x$轴交点），$t\in (-\sqrt{2}$，$0)\bigcup (0$，$\sqrt{2})$时，$M\prime$是双曲线（不含与$x$轴交点）．
〖分析〗（1）根据椭圆的定义以及勾股定理求解即可；
（2）$(i)$假设$P$点坐标，根据两点式得出$BG$和$AO$的方程，根据两条直线交于点$P$，用$P$点坐标表示出$A$点坐标，根据$A$在椭圆$E$上，求解轨迹方程即可；
$(ii)$假设中心点坐标，根据中心点的性质求出中心点坐标，根据坐标有意义以及双曲线和椭圆的系数正负判断即可．
〖解答〗解：（1）由椭圆方程可知，$b=1$，
设过右焦点垂直于$x$轴的直线交椭圆$E$于$D$，左右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，连接$DF_{1}$，$DF_{2}$，
$\therefore DF_{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
由椭圆的定义可知，$DF_{1}=2a-DF_{2}=2a-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$F_{1}F_{2}=2c$，
$\therefore (2a-\dfrac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\dfrac{1}{2}+4c^{2}$，
又$\because a^{2}-c^{2}=b^{2}=1$，
$\therefore$$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\ {c=1}\end{array}\right.$，
$\therefore e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）$(i)$由（1）知，椭圆$E:\dfrac{{x}^{2}}{2}+y^{2}=1$，
设点$P(x,y)$，
$\because AB\bot y$轴，
$\therefore B(0,y_{0})$，
$\therefore$直线$BG$的方程为：$\dfrac{x}{t}+\dfrac{y}{{y}_{0}}=1$，直线$AO$的方程为：$\dfrac{x}{{x}_{0}}=\dfrac{y}{{y}_{0}}$，
$\therefore y_{0}=\dfrac{{t}y}{{t}-x}$，$x_{0}=\dfrac{{t}x}{{t}-x}$，
$\because A$在椭圆$E$上，
$\therefore$$\dfrac{1}{2}(\dfrac{{t}x}{{t}-x})^{2}+(\dfrac{{t}y}{{t}-x})^{2}=1$，
整理得：$(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{{t}^{2}})x^{2}+y^{2}+\dfrac{2}{t}x-1=0$，
$\because y_{0}\ne 0$，
$\therefore y\ne 0$，
$\therefore M$的方程为：$(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{{t}^{2}})x^{2}+y^{2}+\dfrac{2}{t}x-1=0$，$(y\ne 0)$，
$\therefore$当$t=\pm \sqrt{2}$时，曲线$M$为抛物线（不含与$x$轴交点），当$t > \sqrt{2}$或$t < -\sqrt{2}$时，曲线$M$为椭圆（不含与$x$轴交点），当$-\sqrt{2} < t < 0$或$0 < t < \sqrt{2}$时，曲线$M$为双曲线（不含与$x$轴交点）；
$(ii)\because (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{{t}^{2}})x^{2}+(-y)^{2}+\dfrac{2}{t}x-1=0$，方程不变，
$\therefore M$关于$x$轴对称，
设对称中心为$(n,0)$，
$\therefore$化简轨迹方程，$2t^{2}y^{2}=(2-t^{2})(2n-x)^{2}-4t(2n-x)+2t^{2}$恒成立，
$\therefore (2-t^{2})(2n-x)^{2}-4t(2n-x)+2t^{2}=(2-t^{2})x^{2}-4tx+2t^{2}$，
$\therefore n=\dfrac{2{t}}{2-{t}^{2}}$，
$\therefore$当$n$存在时，$t\ne \pm \sqrt{2}$，
$\because$对称中心从$(n,0)$平移到$(0,0)$，
$\therefore M\prime$的方程为：$2t^{2}y^{2}=(2-t^{2})(x+\dfrac{2{t}}{2-{t}^{2}})^{2}-4t(x+\dfrac{2{t}}{2-{t}^{2}})+2t^{2}$，
整理得：$\dfrac{{t}^{2}-2}{2{t}^{2}}x^{2}+y^{2}=\dfrac{{t}^{2}}{{t}^{2}-2}$，
$\therefore$当$\dfrac{{t}^{2}-2}{2{t}^{2}} > 0$时，$M\prime$为椭圆（不含与$x$轴交点），当$\dfrac{{t}^{2}-2}{2{t}^{2}} < 0$时，$M\prime$是双曲线（不含与$x$轴交点），
即$t\in (-\infty$，$-\sqrt{2})\bigcup (\sqrt{2}$，$+\infty )$时，$M\prime$为椭圆（不含与$x$轴交点），
$t\in (-\sqrt{2}$，$0)\bigcup (0$，$\sqrt{2})$时，$M\prime$是双曲线（不含与$x$轴交点），
综上所述，当$t\ne \pm \sqrt{2}$时，轨迹$M$存在对称中心，
$t\in (-\infty$，$-\sqrt{2})\bigcup (\sqrt{2}$，$+\infty )$时，$M\prime$为椭圆（不含与$x$轴交点），
$t\in (-\sqrt{2}$，$0)\bigcup (0$，$\sqrt{2})$时，$M\prime$是双曲线（不含与$x$轴交点）．
〖点评〗本题主要考查了直线与椭圆的综合，属于难题．
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