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2026年高考数学新高考Ⅱ-16<-->2026年高考数学新高考Ⅱ-18
（15分）在△$ABC$中，已知$\cos B=\dfrac{3}{4}$，$\cos ^{2}(A+C)+\sin A\sin C=1$．
（1）证明：△$ABC$为钝角三角形；
（2）若△$ABC$的面积为$\dfrac{\sqrt{7}}{4}$，求△$ABC$周长．
〖答案〗（1）因为$\cos ^{2}(A+C)+\sin A\sin C=1$，且$\cos (A+C)=\cos (\pi -B)=-\cos B$，
所以$\cos ^{2}B+\sin A\sin C=1$，
因为$\cos B=\dfrac{3}{4}$，所以$\sin A\sin C=1-\cos ^{2}B=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}$，
因为$\cos B=-\cos (A+C)=\sin A\sin C-\cos A\cos C$，
所以$\cos A\cos C=\sin A\sin C-\cos B=\dfrac{7}{16}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{5}{16} < 0$，
所以$\cos A$与$\cos C$一个为正，一个为负，即$A$和$C$中有一个为钝角，
所以△$ABC$为钝角三角形；
（2）$3+\sqrt{2}$；
〖分析〗（1）由条件式和诱导公式计算可得$\sin A\sin C$的值，再由两角和余弦公式可得$\cos A\cos C < 0$，从而即可证明；
（2）由同角关系求$\sin B$，由面积公式可得$ac=2$，由正弦定理可得$b$的值，再由余弦定理求得$a+c$的值，从而即可求得．
〖解答〗解：（1）证明：因为$\cos ^{2}(A+C)+\sin A\sin C=1$，且$\cos (A+C)=\cos (\pi -B)=-\cos B$，
所以$\cos ^{2}B+\sin A\sin C=1$，
因为$\cos B=\dfrac{3}{4}$，所以$\sin A\sin C=1-\cos ^{2}B=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}$，
因为$\cos B=-\cos (A+C)=\sin A\sin C-\cos A\cos C$，
所以$\cos A\cos C=\sin A\sin C-\cos B=\dfrac{7}{16}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{5}{16} < 0$，
所以$\cos A$与$\cos C$一个为正，一个为负，即$A$和$C$中有一个为钝角，
所以△$ABC$为钝角三角形；
（2）因为$\cos B=\dfrac{3}{4}$，且$B\in (0,\pi )$，所以$\sin B=\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\sqrt{1-\dfrac{9}{16}}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$，
因为△$ABC$面积为$\dfrac{\sqrt{7}}{4}$，所以$\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$，所以$ac=2$，
由正弦定理得：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$为△$ABC$的外接圆半径，
因为$\sin A\sin C=\dfrac{7}{16}$，所以$(2R)^{2}=\dfrac{ac}{\sin A\sin C}=\dfrac{2}{\dfrac{7}{16}}=\dfrac{32}{7}$，
所以$2R=\dfrac{4\sqrt{14}}{7}$，所以$b=2R\sin B=\dfrac{4\sqrt{14}}{7}\times \dfrac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{2}$，
由余弦定理得：$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B=(a+c)^{2}-2ac-2ac\times \dfrac{3}{4}$，
所以$(a+c)^{2}=b^{2}+2ac+\dfrac{3}{2}ac=2+2\times 2+\dfrac{3}{2}\times 2=9$，即$a+c=3$，
所以△$ABC$周长为$a+b+c=3+\sqrt{2}$．
〖点评〗本题考查利用正、余弦定理和三角恒等变换知识解三角形，属于中档题．
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