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2026年高考数学新高考Ⅱ-18<-->返回列表
（17分）已知函数$f(x)=xe^{x}+ax+b$，曲线$y=f(x)$在点$(0$，$f(0))$处的切线方程为$y=-2x+1$．
（1）求$a$，$b$；
（2）当$x > 0$时，$f(x+m)-f(x) > m$，求$m$的取值范围；
（3）当$x > 0$时，$f(x+k)+f(k-x) > 2f(k)$，求$k$的最小值．
〖答案〗（1）$a=-3$，$b=1$；
（2）$[2\ln 2$，$+\infty )$；
（3）$-2$．
〖分析〗（1）直接根据导数的几何意义求解即可；
（2）令$h(x)=xe^{x}$，则$f(x+m)-f(x)-m=h(x+m)-h(x)-4m$，对$m$进行分情况讨论，结合函数的导数研究即可求解；
（3）要使当$x > 0$时，$f(x+k)+f(k-x)-2f(k) > 0$，设$F(x)=f(k+x)+f(k-x)-2f(k)(x\geqslant 0)$，则$F(0)=0$，对函数二次求导分析函数单调性即可求解．
〖解答〗解：（1）$f'(x)=(x+1)e^{x}+a$，所以$f(0)=b$，$f'(0)=1+a$，
由切线方程$y=-2x+1$，得$b=1$，$1+a=-2$，
所以$a=-3$，$b=1$，所以$f(x)=xe^{x}-3x+1$；
（2）令$h(x)=xe^{x}$，则$f(x+m)-f(x)-m=h(x+m)-h(x)-4m$，
若$m=0$，原不等式为$0 > 0$，不成立，
若$m < 0$，当$x\rightarrow +\infty$时，$h(x+m)-h(x)-4m=e^{x}[x(e^{m}-1)+me^{m}]-4m\rightarrow -\infty$，不成立，
若$m > 0$，设$P(x)=h(x+m)-h(x)-4m$，
因为$h'(x)=(x+1)e^{x}$在$x > 0$上单调递增，所以$P'(x)=h'(x+m)-h'(x) > 0$，
故$P(x) > P(0)=m(e^{m}-4)$要对任意$x > 0$恒成立，
需且只需$m(e^{m}-4)\geqslant 0$，
又$m > 0$，所以$e^{m}\geqslant 4$，即$m\geqslant \ln 4=2\ln 2$，
综上，$m$的取值范围为$[2\ln 2$，$+\infty )$；
（3）要使当$x > 0$时，$f(x+k)+f(k-x)-2f(k) > 0$，
设$F(x)=f(k+x)+f(k-x)-2f(k)(x\geqslant 0)$，则$F(0)=0$，
求导数：$F'(x)=f'(k+x)-f'(k-x)=(k+x+1)e^{x+k}-(k-x+1)e^{k-x}$
$=e^{k-x}[(k+1+x)e^{2x}-(k+1-x)]$，
设$p(x)=(k+1+x)e^{2x}-(k+1-x)$，则$p(0)=0$，
求导数：$p'(x)=(2k+3+2x)e^{2x}+1$，
若$k\geqslant -2$：当$x > 0$时，$p'(x)\geqslant p'(0)=2k+4\geqslant 0$，
由此可知$p(x) > p(0)=0$，即$F\prime (x) > 0$，所以$F(x) > F(0)=0$恒成立，
若$k < -2$：在$x\rightarrow 0^{+}$时，$p'(x)\rightarrow 2k+4 < 0\Rightarrow F\prime (x) < 0\Rightarrow F(x) < 0$，不满足条件，
综上所述，$k$的最小值为$-2$．
〖点评〗本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的切线，不等式恒成立问题，是难题．
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