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2026年高考数学新高考Ⅱ-9<-->2026年高考数学新高考Ⅱ-11
（6分）等比数列$\{a_{n}\}$的公比$q\ne 1$，$a_{1} > 0$，$2a_{3}=a_{1}+a_{2}$，记数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则（ ）
A．$q=-\dfrac{1}{2}$ B．$S_{n} > \dfrac{2}{3}{a}_{1}$
C．$2S_{n+2}=S_{n+1}+S_{n}$ D．$\sum\limits_{k=1}^{n}{S}_{k} > \dfrac{2n}{3}a_{1}$
〖答案〗$ACD$
〖分析〗利用条件求出公比，再结合选项分析得出结论．
〖解答〗解：由题意，$2{a}_{1}{q}^{2}={a}_{1}q+a_{1}$，
因为$a_{1} > 0$，所以$2q^{2}=q+1$，
因为$q\ne 1$，所以$q=-\dfrac{1}{2}$，$A$正确；
$S_{2}=a_{2}+a_{1}=\dfrac{1}{2}a_{1} < \dfrac{2{a}_{1}}{3}$，$B$错误；
因为$q=-\dfrac{1}{2}$，所以$2S_{n+2}=2S_{n+1}+2a_{n+2}=2S_{n+1}-a_{n+1}$，
因为$S_{n+1}+S_{n}=2S_{n+1}-a_{n+1}$，所以$2S_{n+2}=S_{n+1}+S_{n}$，$C$正确；
$\sum\limits_{k=1}^{n}{S}_{k}=\dfrac{2}{3}{a}_{1}[n-(-\dfrac{1}{2})-(-\dfrac{1}{2})^{2}-\ldots -(-\dfrac{1}{2})^{n}]=\dfrac{2n{a}_{1}}{3}-\dfrac{2{a}_{1}}{3}\cdot \dfrac{(-\dfrac{1}{2})[1-(-\dfrac{1}{2})^{n}]}{1+\dfrac{1}{2}}$，
$n\rightarrow +\infty$时，$\dfrac{2{a}_{1}}{3}\cdot \dfrac{(-\dfrac{1}{2})[1-(-\dfrac{1}{2})^{n}]}{1+\dfrac{1}{2}}\rightarrow \dfrac{2{a}_{1}}{3}\cdot \dfrac{(-\dfrac{1}{2})}{1+\dfrac{1}{2}}=-\dfrac{2{a}_{1}}{9}$，
所以$\sum\limits_{k=1}^{n}{S}_{k} > \dfrac{2n{a}_{1}}{3}$，$D$正确．
故选：$ACD$．
〖点评〗本题考查等比数列的通项公式及求和公式，考查计算能力，属于中档题．
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