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2026年高考数学新高考Ⅰ-14<-->2026年高考数学新高考Ⅰ-16
（13分）如图，在直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=BC$，$D$，$E$分别为$AB$，$AC_{1}$的中点．
（1）证明：$DE//$平面$BCC_{1}B_{1}$；
（2）设$CC_{1}=2$，直线$DE$与平面$ACC_{1}A_{1}$所成的角为$45^\circ$，求直线$DE$到平面$BCC_{1}B_{1}$的距离．
〖答案〗（1）连接$BC_{1}$，
因为$D$，$E$分别为$AB$，$AC_{1}$的中点，
所以$DE//BC_{1}$，
因为$DE\not\subset$平面$BCC_{1}B_{1}$，$BC_{1}\subset$平面$BCC_{1}B_{1}$，
所以$DE//$平面$BCC_{1}B_{1}$；
（2）1．
〖分析〗（1）由中位线性质和线面平行的判定定理即可证得；
（2）由直线与平面所成角的定义求得$BC=2$，再由点到平面的距离求法即可求得．
〖解答〗解：（1）证明：连接$BC_{1}$，
因为$D$，$E$分别为$AB$，$AC_{1}$的中点，
所以$DE//BC_{1}$，
因为$DE\not\subset$平面$BCC_{1}B_{1}$，$BC_{1}\subset$平面$BCC_{1}B_{1}$，
所以$DE//$平面$BCC_{1}B_{1}$；
（2）由（1）知，$DE//BC_{1}$，
所以直线$BC_{1}$与平面$ACC_{1}A_{1}$所成的角等于直线$DE$与平面$ACC_{1}A_{1}$所成的角，
在直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$CC_{1}\bot$平面$ABC$，
因为$BC\subset$平面$ABC$，所以$CC_{1}\bot BC$，
因为$\angle ACB=90^\circ$，所以$AC\bot BC$，
因为$AC\bigcap CC_{1}=C$，$CC_{1}\subset$平面$ACC_{1}A_{1}$，$AC\subset ACC_{1}A_{1}$，
所以$BC\bot ACC_{1}A_{1}$，所以$\angle BC_{1}C$即为直线$BC_{1}$与平面$ACC_{1}A_{1}$所成的角，
因为直线$DE$与平面$ACC_{1}A_{1}$所成的角为$45^\circ$，所以$\angle BC_{1}C=45^\circ$，
在$Rt$△$BC_{1}C$中，$CC_{1}=2$，所以$BC=2$，
由（1）知，$DE//$平面$BCC_{1}B_{1}$，
所以$D$到平面$BCC_{1}B_{1}$的距离即为直线$DE$到平面$BCC_{1}B_{1}$的距离，
因为$D$为$AB$的中点，所以$D$到平面$BCC_{1}B_{1}$的距离等于点$A$到平面$BCC_{1}B_{1}$的距离的$\dfrac{1}{2}$，
因为$\angle ACB=90^\circ$，$AC=BC$，所以△$ABC$是腰长为2的等腰直角三角形，且$AC\bot BC$，
在直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，平面$ABC\bot$平面$BCC_{1}B_{1}$，平面$ABC\bigcap$平面$BCC_{1}B_{1}=BC$，$AC\subset$平面$ABC$，
所以$AC\bot$平面$BCC_{1}B_{1}$，所以点$A$到平面$BCC_{1}B_{1}$的距离为$AC=BC=2$，
所以直线$DE$到平面$BCC_{1}B_{1}$的距离为1．
〖点评〗本题考查线面平行的证明，直线与平面所成角的应用，点到平面的距离求解，属于中档题．
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