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2026年高考数学新高考Ⅰ-15<-->2026年高考数学新高考Ⅰ-17
（15分）已知在△$ABC$中，$AB=3$，$BC=2\sqrt{3}$，$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求$\cos A$；
（2）设$D$，$E$两点满足：$D$在$BA$的延长线上，$DE//BC$，$AE\bot AC$．若$DE=\sqrt{6}$，求$CE$．
〖答案〗（1）$\dfrac{1}{3}$；
（2）$3\sqrt{5}$．
〖分析〗（1）根据余弦定理列式求出$AC=3$，进而可算出$\cos A$的值；
（2）由$\angle DAE$与$\angle BAC$互余，算出$\sin \angle DAE=\cos \angle BAC=\dfrac{1}{3}$，根据$DE//BC$，算出$\angle D$与$\angle ABC$互补，从而可得$\cos D=-\cos B=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，结合同角三角函数的平方关系算出$\sin D$，然后在△$ADE$中运用正弦定理算出$AE$的长，进而在$Rt$△$ACE$中运用勾股定理求解，可得$CE$的长．
〖解答〗解：（1）在△$ABC$中，$AB=3$，$BC=2\sqrt{3}$，$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
由余弦定理得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos B$
$=9+12-2\times 3\times 2\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{3}=9$，解得$AC=3$，
所以$\cos A=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\dfrac{9+9-12}{2\times 3\times 3}=\dfrac{1}{3}$；
（2）由$AE\bot AC$，可得$\angle DAE=90^\circ -\angle BAC$，故$\sin \angle DAE=\cos \angle BAC=\dfrac{1}{3}$，
根据$DE//BC$，可得$\angle D=180^\circ -\angle B$，故$\cos D=-\cos B=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$\sin D=\sqrt{1-\cos ^{2}D}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，
在△$ADE$中，由正弦定理得$\dfrac{DE}{\sin \angle DAE}=\dfrac{AE}{\sin D}$，即$\dfrac{\sqrt{6}}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{AE}{\dfrac{\sqrt{6}}{3}}$，解得$AE=6$，
$Rt$△$ACE$中，$CE=\sqrt{AE^{2}+AC^{2}}=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}$．
〖点评〗本题主要考查正弦定理与余弦定理、同角三角函数的基本关系与诱导公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
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