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2026年高考数学新高考Ⅰ-13<-->2026年高考数学新高考Ⅰ-15
（5分）设实数$q$满足：存在数列$\{a_{n}\}$，使得对于任意$n\in N^{*}$，均有$a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{3n}=n^{2}+n$，且$\{a_{n}\}$中有某连续9项$a_{k}$，$a_{k+1}$，$\ldots$，$a_{k+8}$是公比为$q$的等比数列，则$q$的最大值为____．
〖答案〗$\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}$．
〖分析〗根据前$3n$项和，求出连续三项的表达式，然后根据连续9项内至少存在两组连续三项，求出$q$和$n$的关系，然后判断$n$的取值，从而得到$q$的最大值．
〖解答〗解：设数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则$S_{3n}=n^{2}+n$，
$\therefore a_{3n+1}+a_{3n+2}+a_{3n+3}=S_{3n+3}-S_{3n}=(n+1)^{2}+(n+1)-n^{2}-n=2n+2$，
$\because$连续9项为等比数列，
$\therefore 9$项内一定有两组$\{a_{3n+1}$，$a_{3n+2}$，$a_{3n+3}\}$，且两组相邻，
$\therefore q^{3}=\dfrac{{a}_{3n+4}+{a}_{3n+5}+{a}_{3n+6}}{{a}_{3n+1}+{a}_{3n+2}+{a}_{3n+3}}=\dfrac{2(n+1)+2}{2n+2}=1+\dfrac{1}{n+1}$，
若这连续9项中存在三组$\{a_{3n+1}$，$a_{3n+2}$，$a_{3n+3}\}$，
那么，$q^{3}=1+\dfrac{1}{n+1}=1+\dfrac{1}{n+2}$，$n$无解，
$\therefore$这连续9项不可能存在三组完整的$\{a_{3n+1}$，$a_{3n+2}$，$a_{3n+3}\}$，
$\therefore n\geqslant 1$，
$\therefore q^{3}\leqslant 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，
$\therefore q$的最大值为$\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}$．
故答案为：$\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}$．
〖点评〗本题主要考查了数列的递推以及等比数列的性质，判断要求的连续9项内是否有三组$\{a_{3n+1}$，$a_{3n+2}$，$a_{3n+3}\}$是解题的关键，属于中档题．
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