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2026年高考数学天津-14<-->2026年高考数学天津-16
（5分）在平面内，$O$为坐标原点，抛物线$y^{2}=2x$上有$A$，$B$，$C$，$D$四个点．$A$，$B$，$C$，$D$的纵坐标分别为$y_{A}$，$y_{B}$，$y_{C}$，$y_{D}$，直线$AB$与直线$CD$交$x$轴于点$P$，直线$AC$交$x$轴于点$M$，直线$BD$交$x$轴于点$N$，以下说法正确的有：____ ．
①若$M$与抛物线焦点重合，则$y_{A}y_{C}=-2$；
②$y_{A}\cdot y_{B}=y_{C}\cdot y_{D}$；
③$\vert OM\vert \vert ON\vert =2\vert OP\vert ^{2}$；
④$\vert y_{A}-y_{C}\vert \vert OP\vert =\vert y_{B}-y_{D}\vert \vert OM\vert$；
⑤$\dfrac{{S}_{\triangle ACP}}{{S}_{\triangle BDP}}=(\dfrac{\vert OM\vert }{\vert ON\vert })^2$．
〖答案〗②④．
〖分析〗根据两点式写出直线$AB$、$CD$、$AC$、$BD$的解析式，从而求得$P$，$M$，$N$的坐标，据此判断每个选项．
〖解答〗解：$\because$抛物线$y^{2}=2x$，
$\therefore$焦点$F(\dfrac{1}{2}$，$0)$，
$\because A$，$B$，$C$，$D$的纵坐标分别为$y_{A}$，$y_{B}$，$y_{C}$，$y_{D}$，
$\therefore A(\dfrac{{y}_{A}^{2}}{2}$，$y_{A})$，$B(\dfrac{{y}_{B}^{2}}{2}$，$y_{B})$，$C(\dfrac{{y}_{C}^{2}}{2}$，$y_{C})$，$D(\dfrac{{y}_{D}^{2}}{2}$，$y_{D})$，
$\therefore$直线$AB:\dfrac{y-{y}_{A}}{{y}_{B}-{y}_{A}}=\dfrac{x-\dfrac{{y}_{A}^{2}}{2}}{\dfrac{{y}_{B}^{2}}{2}-\dfrac{{y}_{A}^{2}}{2}}$，直线$CD:\dfrac{y-{y}_{C}}{{y}_{D}-{y}_{C}}=\dfrac{x-\dfrac{{y}_{C}^{2}}{2}}{\dfrac{{y}_{D}^{2}}{2}-\dfrac{{y}_{C}^{2}}{2}}$，直线$AC:\dfrac{y-{y}_{A}}{{y}_{C}-{y}_{A}}=\dfrac{x-\dfrac{{y}_{A}^{2}}{2}}{\dfrac{{y}_{C}^{2}}{2}-\dfrac{{y}_{A}^{2}}{2}}$，直线$BD:\dfrac{y-{y}_{B}}{{y}_{D}-{y}_{B}}=\dfrac{x-\dfrac{{y}_{B}^{2}}{2}}{\dfrac{{y}_{D}^{2}}{2}-\dfrac{{y}_{B}^{2}}{2}}$，
整理得：直线$AB:y=\dfrac{2x+{y}_{A}{y}_{B}}{{y}_{A}+{y}_{B}}$，直线$CD:y=\dfrac{2x+{y}_{C}{y}_{D}}{{y}_{C}+{y}_{D}}$，直线$AC:y=\dfrac{2x+{y}_{A}{y}_{C}}{{y}_{A}+{y}_{C}}$，直线$BD:y=\dfrac{2x+{y}_{B}{y}_{D}}{{y}_{B}+{y}_{D}}$，
令$y=0$，则$x_{P}=-\dfrac{1}{2}y_{A}y_{B}$，$x_{P}=-\dfrac{1}{2}y_{C}y_{D}$，$x_{M}=-\dfrac{1}{2}y_{A}y_{C}$，$x_{N}=-\dfrac{1}{2}y_{B}y_{D}$，
$\therefore -\dfrac{1}{2}y_{A}y_{B}=-\dfrac{1}{2}y_{C}y_{D}$，
$\therefore y_{A}y_{B}=y_{C}y_{D}$，故②正确；
若$M$和抛物线焦点重合，则$x_{M}=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore y_{A}y_{C}=-1$，故①错误；
$\because \vert OM\vert \vert ON\vert =\dfrac{1}{4}\vert y_{A}y_{B}y_{C}y_{D}\vert =\vert OP\vert ^{2}$，
$\therefore \vert OM\vert \vert ON\vert \ne 2\vert OP\vert ^{2}$，故③错误；
$\because \vert y_{B}-y_{D}\vert \vert OM\vert =\vert (y_{B}-y_{D})\dfrac{1}{2}y_{A}y_{C}\vert =\dfrac{1}{2}\vert y_{A}(y_{B}y_{C}-y_{C}y_{D})\vert$，$\vert y_{A}-y_{C}\vert \vert OP\vert =\vert (y_{A}-y_{C})\dfrac{1}{2}y_{A}y_{B}\vert =\dfrac{1}{2}\vert y_{A}(y_{A}y_{B}-y_{B}y_{C})\vert$，$y_{A}y_{B}=y_{C}y_{D}$，
$\therefore \vert (y_{B}y_{C}-y_{C}y_{D})\vert =\vert (y_{A}y_{B}-y_{B}y_{C})\vert$，
$\therefore \vert y_{A}-y_{C}\vert \vert OP\vert =\vert y_{B}-y_{D}\vert \vert OM\vert$，故④正确；
$\because S_{\triangle ACP}=\dfrac{1}{2}\vert PM\vert \vert y_{A}-y_{C}\vert =\dfrac{1}{4}\vert (y_{A}y_{B}-y_{A}y_{C})(y_{A}-y_{C})\vert =\dfrac{1}{4}\vert y_{A}(y_{A}-y_{C})(y_{B}-y_{C})\vert$，$S_{\triangle BDP}=\dfrac{1}{2}\vert PN\vert \vert y_{B}-y_{D}\vert =\dfrac{1}{4}\vert (y_{C}y_{D}-y_{B}y_{D})(y_{B}-y_{D})\vert =\dfrac{1}{4}\vert y_{D}(y_{C}-y_{B})(y_{B}-y_{D})\vert$，
$\therefore$$\dfrac{{S}_{\triangle ACP}}{{S}_{\triangle BDP}}=\dfrac{\vert {y}_{A}({y}_{A}-{y}_{C})({y}_{B}-{y}_{C})\vert }{\vert {y}_{D}({y}_{B}-{y}_{C})({y}_{B}-{y}_{D})\vert }=\dfrac{\vert {y}_{A}^{2}-{y}_{A}{y}_{C}\vert }{\vert {y}_{D}^{2}-{y}_{B}{y}_{D}\vert }$，
$\because y_{A}y_{B}=y_{C}y_{D}$，
$\therefore y_{A}=\dfrac{{y}_{C}{y}_{D}}{{y}_{B}}$，
$\therefore$$\dfrac{\vert {y}_{A}^{2}-{y}_{A}{y}_{C}\vert }{\vert {y}_{D}^{2}-{y}_{B}{y}_{D}\vert }=\dfrac{\vert \dfrac{{y}_{C}^{2}{y}_{D}^{2}}{{y}_{B}^{2}}-\dfrac{{y}_{C}^{2}{y}_{D}}{{y}_{B}}\vert }{{\vert y}_{D}^{2}-{y}_{B}{y}_{D}\vert }=\dfrac{{y}_{C}^{2}}{{y}_{B}^{2}}$，
$\because (\dfrac{\vert OM\vert }{\vert ON\vert })^{2}=\dfrac{{y}_{A}^{2}{y}_{C}^{2}}{{y}_{B}^{2}{y}_{D}^{2}}=\dfrac{{y}_{C}^{2}{y}_{D}^{2}}{{y}_{B}^{2}}\cdot \dfrac{{y}_{C}^{2}}{{y}_{B}^{2}{y}_{D}^{2}}=\dfrac{{y}_{C}^{4}}{{y}_{B}^{4}}$，
$\therefore$$\dfrac{{S}_{\triangle ACP}}{{S}_{\triangle BDP}}\ne (\dfrac{\vert OM\vert }{\vert ON\vert })^{2}$，故⑤错误．
故答案为：②④．
〖点评〗本题主要考查了二次函数与直线的综合，根据两点式写出四条直线的解析式是解题的关键，属于难题．
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