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2026年高考数学天津-13<-->2026年高考数学天津-15
（5分）已知$\vert \overrightarrow{a}\vert =\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1$，$\vert \overrightarrow{b}\vert > 1$，记$\overrightarrow{c}=\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}$．回答下列问题：
①当$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$时，$\lambda +\mu =$____；
②当$\vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\vert =1$时，$\lambda +\mu$的范围是____ ．
〖答案〗2；$[1$，$3]$．
〖分析〗由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，得$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，又由$\overrightarrow{c}=\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}$，可得$\lambda =\mu =1$，即可得第一空答案；将$\overrightarrow{\;c}=\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}$代入，平方后分$\mu =1$和$\mu \ne 1$，结合$\vert \overrightarrow{b}\vert > 1$，求解即可．
〖解答〗解：因为$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，所以$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
又因为$\overrightarrow{c}=\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}$，
所以$\lambda =\mu =1$，
所以$\lambda +\mu =2$；
因为$\vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\vert =1$，
所以$\vert (1-\lambda )\overrightarrow{a}+(1-\mu )\overrightarrow{b}\vert =1$，
平方，得$(1-\lambda )^{2}\overrightarrow{a}^{2}+2(1-\lambda )(1-\mu )\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+(1-\mu )^{2}\overrightarrow{b}^{2}=1$，
即$(1-\lambda )^{2}+2(1-\lambda )(1-\mu )+(1-\mu )^{2}\overrightarrow{b}^{2}=1$，
当$\mu =1$时，则有$(1-\lambda )^{2}=1$，解得$\lambda =0$或$\lambda =2$，
此时$\lambda +\mu =1$或3；
当$\mu \ne 1$时，则有$\overrightarrow{b}^{2}=\dfrac{1-(1-\lambda )^{2}-2(1-\lambda )(1-\mu )}{(1-\mu )^{2}} > 1$，
即$[(\lambda +\mu )-1][(\lambda +\mu )-3] < 0$，
解得$1 < \lambda +\mu < 3$，
综上，$\lambda +\mu$的范围为$[1$，$3]$．
故答案为：2；$[1$，$3]$．
〖点评〗本题考查了向量的线性运算，考查了分类讨论思想，属于中档题．
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