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2026年高考数学天津-15<-->2026年高考数学天津-17
（14分）已知函数$f(x)=\sin (2x+\dfrac{\pi }{6})$．
（1）求$f(x)$的最小正周期；
（2）若$x\in [-\dfrac{\pi }{6}$，$\dfrac{\pi }{12}]$，求$f(x)$的最大值和最小值；
（3）若$\alpha \in (0,\dfrac{\pi }{2})$，$\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，求$f(\alpha )$．
〖答案〗（1）$\pi$；
（2）最大值为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，最小值为$-\dfrac{1}{2}$；
（3）$\dfrac{2\sqrt{6}+1}{6}$．
〖分析〗（1）利用正弦型函数的周期公式直接求解；
（2）通过换元转化为标准正弦函数的区间最值问题；
（3）结合同角三角函数关系、二倍角公式与两角和的正弦公式计算$f(\alpha )$．
〖解答〗解：（1）由$f(x)=\sin (2x+\dfrac{\pi }{6})$，正弦型函数的周期为$T=\dfrac{2\pi }{\vert \omega \vert }$，
其中$\omega =2$，故$T=\pi$，即最小正周期为$\pi$．
（2）当$x\in [-\dfrac{\pi }{6}$，$\dfrac{\pi }{12}]$时，$2x+\dfrac{\pi }{6}\in [-\dfrac{\pi }{6}$，$\dfrac{\pi }{3}]$．$y=\sin t$在$[-\dfrac{\pi }{6}$，$\dfrac{\pi }{3}]$上单调递增，
因此当$x=-\dfrac{\pi }{6}$时，$f(x)_{min}=\sin (-\dfrac{\pi }{6})=-\dfrac{1}{2}$；当$x=\dfrac{\pi }{12}$时，$f(x)_{max}=\sin (\dfrac{\pi }{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）由$\alpha \in (0,\dfrac{\pi }{2})$，$\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，得$\cos \alpha =\sqrt{1-(\dfrac{\sqrt{3}}{3})^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$．
$\sin 2\alpha =2\times \dfrac{\sqrt{3}}{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，$\cos 2\alpha =1-2\times (\dfrac{\sqrt{3}}{3})$^$2=\dfrac{1}{3}$．
因此$f(\alpha )=\sin (2\alpha +\dfrac{\pi }{6})=\sin 2\alpha \cos \dfrac{\pi }{6}+\cos 2\alpha \sin \dfrac{\pi }{6}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{2\sqrt{6}+1}{6}$．
〖点评〗本题主要考查正弦型函数的周期性、区间最值及三角恒等变换，属于中档题．
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