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2026年高考数学上海春-15<-->2025年高考数学上海春-17
（5分）对于函数$y=f(x)$，$x\in D$，设$A_{f}=\{(x$，$y)\vert y\geqslant f(x)$，$x\in D\}$．对于点集$M$，若存在$(x_{0}$，$y_{0})\in M$，使得任取$(x,y)\in M$，总有$y\geqslant y_{0}$，则称$(x_{0}$，$y_{0})$为“最低点”．对于函数$y=f(x)$和$y=g(x)$，以下说法中正确的是（ ）
A．若$y=f(x)$和$y=g(x)$都有最小值，则$A_{f}\bigcap A_{g}$有最低点
B．若$A_{f}\bigcap A_{g}$有最低点，则$y=f(x)$和$y=g(x)$都有最小值
C．若$y=f(x)$或$y=g(x)$有最小值，则$A_{f}\bigcup A_{g}$有最低点
D．若$A_{f}\bigcup A_{g}$有最低点，则$y=f(x)$或$y=g(x)$有最小值
〖答案〗$D$
〖分析〗选项$A$：若$y=f(x)$和$y=g(x)$都有最小值，$A_{f}\bigcap A_{g}$未必有最低点（反例显示其区域无统一最小$y)$，故$A$错误；
选项$B$：若$A_{f}\bigcap A_{g}$有最低点，$y=f(x)$和$y=g(x)$不一定都有最小值（如$f=g=e^{x}$时，交集有最低点但$e^{x}$无最小值），故$B$错误；
选项$C$：若$y=f(x)$或$y=g(x)$有最小值，$A_{f}\bigcup A_{g}$未必有最低点（如$f=e^{x}$，$g=x^{2}+1$的并集无统一最小$y)$，故$C$错误；
选项$D$：若$A_{f}\bigcup A_{g}$有最低点，则该点属于$A_{f}$或$A_{g}$，对应$y=f(x)$或$y=g(x)$存在最小值，故$D$正确．
〖解答〗解：对于$A$，可举反例：$f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{x},x\le 0\\ 0,x > 0\end{array}\right.$，$g(x)=\left\{\begin{array}{l}0,x < 0\\ e^{-x},x\ge 0\end{array}\right.$，
此时$A_{f}\bigcap A_{g}=\{(x$，$y)\vert (x\leqslant 0$且$y\geqslant e^{x})$或$(x > 0$且$y\geqslant e)\}$，故$A$错误；
对于$B$，可举反例：$f(x)=e^{x}$，$g(x)=e^{-x}$，此时$A_{f}\bigcap A_{g}=\{(x$，$y)\vert (x > 0$且$y\geqslant e^{x})$或$(x\leqslant 0$且$y\geqslant e^{x})\}$，
显然此时$(0,1)$为$A_{f}\bigcap A_{g}$，但$f(x)$和$g(x)$都没有最小值，故$B$错误；
对于$C$，可举反例；$f(x)=e^{x}$，$g(x)=x^{2}+1$，显然$A_{f}\bigcup A_{g}$没有“最低点”，故$C$错误；
对于$D$，若$A_{f}\bigcup A_{g}$有“最低点”，不妨记最低点为$(x_{0}$，$y_{0})\in (A_{f}\bigcup A_{g})$，
则$(x_{0}$，$y_{0})\in A_{f}$或$(x_{0}$，$y_{0})\in A_{g}$，且有$f(x)\geqslant y_{0}$或$g(x)\geqslant y_{0}$，
故$f(x)_{min}=y_{0}$或$g(x)_{min}=y_{0}$，故$D$选项正确．
故选：$D$．
〖点评〗本题考查函数与方程的综合运用与最值，属于中档题．
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