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2026年高考数学上海春-9<-->2026年高考数学上海春-11
（5分）在△$ABC$中，$D$、$E$在边$BC$上，且$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EC}$，$\vert \overrightarrow{AD}\vert =1$，$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AE}$所成的夹角为$\dfrac{\pi }{3}$，则$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$的最大值为____ ．
〖答案〗$-\dfrac{39}{32}$．
〖分析〗先利用$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AE}$表示$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$，再将$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$转化为$\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AE}$的计算，进而求解．
〖解答〗解：$\because$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$，
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+2(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE})=-\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AE}$，
$\therefore$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE})\cdot (-\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AE})=-2\vert \overrightarrow{AD}\vert ^{2}+5\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}-2\vert \overrightarrow{AE}\vert ^{2}$，
$\because$$\vert \overrightarrow{AD}\vert =1$，$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AE}$所成的夹角为$\dfrac{\pi }{3}$，
$\therefore$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-2+\dfrac{5}{2}\cdot \vert \overrightarrow{AE}\vert -2\vert \overrightarrow{AE}\vert ^{2}$，
令$\vert \overrightarrow{AE}\vert =t > 0$，则$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-2t^{2}+\dfrac{5}{2}t-2=-2(t-\dfrac{5}{8})^{2}-\dfrac{39}{32}$，$t > 0$，
当$\vert \overrightarrow{AE}\vert =\dfrac{5}{8}$时，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$的最大值为$-\dfrac{39}{32}$．
故答案为：$-\dfrac{39}{32}$．
〖点评〗本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
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