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2026年高考数学上海春-10<-->2026年高考数学上海春-12
（5分）已知椭圆$\Gamma _{1}:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a > 1)$与椭圆$\Gamma _{2}:\dfrac{y^{2}}{b^{2}+2}+\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$相交于$A$、$B$、$C$、$D$四点，且与$\Gamma _{1}$和$\Gamma _{2}$的四个焦点在同一个圆上，则$b^{2}=$____ ．
〖答案〗$\sqrt{3}$．
〖分析〗根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可．
〖解答〗解：因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，
所以根据椭圆$\Gamma _{1}$和$\Gamma _{2}$的对称性可知，该圆的圆心为原点，
因此有$\sqrt{a^{2}-1^{2}}=\sqrt{b^{2}+2-b^{2}}\Rightarrow a^{2}=3$，
且两个椭圆的半焦距为$\sqrt{b^{2}+2-b^{2}}=\sqrt{2}$，
因此该圆的方程为$x^{2}+y^{2}=2$，
又因为$A$、$B$、$C$、$D$四点与$\Gamma _{1}$和$\Gamma _{2}$的四个焦点在同一个圆上，
所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆$x^{2}+y^{2}=2$上，
由$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x^{2}}{3}+y^{2}=1\\ x^{2}+y^{2}=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x^{2}=\dfrac{3}{2}\\ y^{2}=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$，代入椭圆$\Gamma _{2}:\dfrac{y^{2}}{b^{2}+2}+\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$中，
得$\dfrac{\dfrac{1}{2}}{b^{2}+2}+\dfrac{\dfrac{3}{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow (b^{2})^{2}=3$，又$b^{2} > 0$，故$b^{2}=\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．
〖点评〗本题考查直线与椭圆的综合，属于中档题．
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