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2026年高考数学上海-19<-->2025年高考数学上海-21
（18分）已知双曲线$\Gamma :x^{2}-y^{2}=1$，$P$为$\Gamma$上一点，$F_{1}$，$F_{2}$分别为左、右焦点．
（1）求点$(2,0)$到$\Gamma$渐近线的距离；
（2）若$\overrightarrow{PF_{1}}\cdot \overrightarrow{PF_{2}}=1$，求△$PF_{1}F_{2}$的面积；
（3）已知$\Omega$为双曲线$\Gamma$满足$\left\{\begin{array}{l}{x > 0}\\ {y\ge -1}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x < 0}\\ {y\le -1}\end{array}\right.$的部分，过$F_{2}$的直线$l$与$\Omega$相交于$P$，$Q$两点，且分别位于第一、四象限，过$F_{2}$的直线$m$与$\Omega$相交于$M$，$N$两点，且分别位于第三、四象限，是否存在实数$\lambda$，对任意的直线$l$，都存在唯一的直线$m$，使得$\lambda \vert PQ\vert =\vert MN\vert$？若存在，请求出$\lambda$的取值范围，若不存在，请说明理由．
〖答案〗（1）$\sqrt{2}$．
（2）$\sqrt{2}$．
（3）存在$\lambda \in [\dfrac{9}{7}$，$+\infty )$满足题意．
〖分析〗（1）求解渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．
（2）设出$P$的坐标，利用向量的数量积，结合三角形的面积公式求解即可．
（3）联立直线与双曲线方程，结合弦长公式，转化求解即可．
〖解答〗解：（1）由题意，渐近线方程为$y=\pm x$，由对称性，不妨取$y=x$，
故点$(2,0)$到渐近线的距离为$\dfrac{\vert 2-0\vert }{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$．
（2）由题意，$F_{1}(-\sqrt{2}$，$0)$，$F_{2}(\sqrt{2}$，$0)$，设$P(x_{0}$，$y_{0})$，$x_{0}^{2}-y_{0}^{2}=1$，
故$\overrightarrow{PF_{1}}=(-\sqrt{2}-x_{0}$，$-y_{0})$，$\overrightarrow{PF_{2}}=(\sqrt{2}-x_{0}$，$-y_{0})$，
故$\overrightarrow{PF_{1}}\cdot \overrightarrow{PF_{2}}=x_{0}^{2}-2+y_{0}^{2}=1$，$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=3$，故解方程得$y_{0}^{2}=1$，$\vert y_{0}\vert =1$，
故$S_{\triangle PF_{1}F_{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot \vert F_{1}F_{2}\vert \cdot \vert y_{0}\vert =\sqrt{2}$．
（3）由题意，直线$l$斜率不为0，故设$l:x=py+\sqrt{2}$，$P(x_{1}$，$y_{1})$，$Q(x_{2}$，$y_{2})$，
故$\left\{\begin{array}{l}x=py+\sqrt{2}\\ x^{2}-y^{2}=1\end{array}\right.\Rightarrow (p^{2}-1)y^{2}+2\sqrt{2}py+1=0$，$p^{2}-1\ne 0$，△$=8p^{2}-4p^{2}+4 > 0$，
故$\left\{\begin{array}{l}y_{1}+y_{2}=\dfrac{-2\sqrt{2}p}{p^{2}-1}\\ y_{1}y_{2}=\dfrac{1}{p^{2}-1}\end{array}\right.$，由$y_{1}y_{2} < 0\Rightarrow p\in (-1,1)$，
故$\vert PQ\vert =\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}=\sqrt{1+p^{2}}\cdot \sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}=\dfrac{2+2p^{2}}{1-p^{2}}$，
故设$f(p^{2})=\dfrac{2+2p^{2}}{1-p^{2}}=2+\dfrac{4p^{2}}{1-p^{2}}$，$p^{2}\in [0$，$1)$，当$p^{2}=0$时，$f(p^{2})=2$，
当$p^{2}\in (0,1)$时$f(p^{2})=2+\dfrac{4}{\dfrac{1}{p^{2}}-1}\in (2,+\infty )$，可得$\vert PQ\vert \in [2$，$+\infty )$，
同理，设$m:x=qy+\sqrt{2}$，$M(x_{3}$，$y_{3})$，$N(x_{4}$，$y_{4})$，同理得$q^{2}-1\ne 0$，$\left\{\begin{array}{l}y_{3}+y_{4}=\dfrac{-2\sqrt{2}q}{q^{2}-1}\\ y_{3}y_{4}=\dfrac{1}{q^{2}-1}\end{array}\right.$，
由题意，不妨设$y_{3}\leqslant -1 < y_{4} < 0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y_{3}+y_{4} < 0\\ y_{3}y_{4} > 0\\ (y_3+1)(y_{4}+1)\le 0\end{array}\right.\Rightarrow q\in (1$，$2\sqrt{2}]$，
同理$\vert MN\vert =\dfrac{2+2q^{2}}{q^{2}-1}=2+\dfrac{4}{q^{2}-1}\in [\dfrac{18}{7}$，$+\infty )$，
由$f(q)=2+\dfrac{4}{q^{2}-1}$，在$q\in (1$，$2\sqrt{2}]$时，是单调函数，
故只需$\dfrac{18}{7}\leqslant \lambda \cdot 2$，即$\lambda \geqslant \dfrac{9}{7}$时，满足题意，
综上，存在$\lambda \in [\dfrac{9}{7}$，$+\infty )$满足题意．
〖点评〗本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，是较难题．
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