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2026年高考数学上海-18<-->2025年高考数学上海-20
（14分）已知$a\in R$，函数$f(x)=x^{2}+ax+3$，$g(x)=4x+\dfrac{1}{x^{2}}$．
（1）若$f$（1）$=4$，求$f(x)+\dfrac{1}{x^{2}} > g(x)$的解集；
（2）若$a\ne 0$，$l_{1}$是$f(x)$在点$(0,3)$处的切线，$l_{2}$是过点$(0,3)$且垂直于$l_{1}$的直线，$g(x)$与$l_{1}$、$l_{2}$在第一象限内均无公共点，求$a$的取值范围．
〖答案〗（1）$(-\infty$，$0)\bigcup (0$，$1)\bigcup (3$，$+\infty )$；
（2）$(-\infty$，$-\dfrac{1}{2})\bigcup (0$，$2)$．
〖分析〗（1）利用$f$（1）$=4$，求出$a$的值，再求$f(x)+\dfrac{1}{x^{2}} > g(x)$的解集；
（2）由题意$ax+3=4x+\dfrac{1}{x^{2}}$在$(0,+\infty )$内无解，故$a=\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{3}{x}+4$在$(0,+\infty )$内无解．换元，利用导数确定函数的单调性，进而可求$a$的取值范围．
〖解答〗解：（1）由题意，$x\ne 0$，$f$（1）$=1+a+3=4$，所以$a=0$，
所以$f(x)=x^{2}+3$，故$x^{2}+3+\dfrac{1}{x^{2}} > 4x+\dfrac{1}{x^{2}}$，
所以$x^{2}-4x+3 > 0$且$x\ne 0$，
所以$x\in (-\infty$，$0)\bigcup (0$，$1)\bigcup (3$，$+\infty )$；
（2）由题意，$f'(x)=2x+a$，$f'(0)=a$，故$l_{1}$为$y=ax+3$，
$l_{2}$斜率为$-\dfrac{1}{a}$，故$l_{2}$为$y=-\dfrac{1}{a}x+3$，
由题意$ax+3=4x+\dfrac{1}{x^{2}}$在$(0,+\infty )$内无解，故$a=\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{3}{x}+4$在$(0,+\infty )$内无解．
不妨设$t=\dfrac{1}{x}\in (0,+\infty )$，$h(t)=t^{3}-3t+4$，
所以$h'(t)=3t^{2}-3=3(t+1)(t-1)$，
所以$h(t)$在$(0$，$1]$单调递减，在$[1$，$+\infty )$单调递增，
故$h(t)_{min}=h$（1）$=2$，$x\rightarrow +\infty$，$h(t)\rightarrow +\infty$，
故$h(t)\in [2$，$+\infty )$，
即$a\in (-\infty$，$0)\bigcup (0$，$2)$；
同理$-\dfrac{1}{a}\in (-\infty$，$0)\bigcup (0$，$2)\Rightarrow a\in (-\infty$，$-\dfrac{1}{2})\bigcup (0$，$+\infty )$．
综上，$a\in (-\infty$，$-\dfrac{1}{2})\bigcup (0$，$2)$．
〖点评〗本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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