|
2026年高考数学上海-17<-->2026年高考数学上海-19
（14分）已知四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为矩形，$PH\bot$底面$ABCD$，$AH=1$，$HD=4$，$AB=2$．
（1）证明：$HC\bot PB$；
（2）若四棱锥体积$V_{P-ABCD}=\dfrac{10\sqrt{5}}{3}$，求二面角$C-PB-H$的大小．
〖答案〗（1）证明：过$H$做$l//AB$，
以$H$为原点，以$l$，$HD$，$HP$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴建立空间直角坐标系，
则$H(0$，0，$0)$，$C(2$，4，$0)$，$B(2$，$-1$，$0)$，
设$P(0$，0，$h)$，
故$\overrightarrow{HC}=(2$，4，$0)$，$\overrightarrow{PB}=(2$，$-1$，$-h)$，$\overrightarrow{HC}\cdot \overrightarrow{PB}=4-4+0=0$，
故$HC\bot PB$；
（2）$\arccos \dfrac{1}{3}$．
〖分析〗（1）建立空间直角坐标系，计算$\overrightarrow{HC}=(2$，4，$0)$，$\overrightarrow{PB}=(2$，$-1$，$-h)$，利用$\overrightarrow{HC}\cdot \overrightarrow{PB}=0$，即可得证；
（2）由体积先计算锥体的高$h$，得出$P(0$，0，$\sqrt{5})$，再分别计算平面$CPB$和平面$PBH$的法向量，利用向量法求解即可．
〖解答〗解：（1）证明：过$H$作$l//AB$，
以$H$为原点，以$l$，$HD$，$HP$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴建立空间直角坐标系，
则$H(0$，0，$0)$，$C(2$，4，$0)$，$B(2$，$-1$，$0)$，
设$P(0$，0，$h)$，
故$\overrightarrow{HC}=(2$，4，$0)$，$\overrightarrow{PB}=(2$，$-1$，$-h)$，$\overrightarrow{HC}\cdot \overrightarrow{PB}=4-4+0=0$，
故$HC\bot PB$．
（2）由题意，${{V}_{P-ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot {{S}_{ABCD}}\cdot h=\dfrac{10}{3}h=\dfrac{10\sqrt{5}}{3}\Rightarrow h=\sqrt{5}$，
故$P(0$，0，$\sqrt{5})$，
$\overrightarrow{BC}=(0$，5，$0)$，$\overrightarrow{PB}=(2$，$-1$，$-\sqrt{5})$，$\overrightarrow{HP}=(0$，0，$\sqrt{5})$，
设平面$CPB$和平面$PBH$的法向量分别为$\overrightarrow{n_{1}}=(x_{1}$，$y_{1}$，$z_{1})$，$\overrightarrow{n_{2}}=(x_{2}$，$y_{2}$，$z_{2})$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{n_{1}}=0\\ \overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{n_{1}}=0\end{array}\right.$$\Rightarrow$$\left\{\begin{array}{l}y_{1}=0\\ 2x_{1}-y_{1}-\sqrt{5}z_{1}=0\end{array}\right.$，
令$x_{1}=\sqrt{5}$，$z_{1}=2$，$\Rightarrow$$\overrightarrow{n_{1}}=(\sqrt{5}$，0，$2)$，
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{HP}\cdot \overrightarrow{n_{2}}=0\\ \overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{n_{2}}=0\end{array}\right.$$\Rightarrow$$\left\{\begin{array}{l}z_{2}=0\\ 2x_{2}-y_{2}-\sqrt{5}z_{2}=0\end{array}\right.$，
令$x_{2}=1$，$y_{2}=2$，$\Rightarrow$$\overrightarrow{n_{2}}=(1$，2，$0)$，
设二面角$C-PB-H$为$\theta$，
则$\cos \theta =\dfrac{\vert \overrightarrow{n_{1}}\cdot \overrightarrow{n_{2}}\vert }{\vert \overrightarrow{n_{1}}\vert \cdot \vert \overrightarrow{n_{2}}\vert }=\dfrac{\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=\dfrac{1}{3}$，$\theta =\arccos \dfrac{1}{3}$，
故二面角$C-PB-H$的大小为$\arccos \dfrac{1}{3}$．
〖点评〗本题考查线线垂直的判定，考查利用向量法求二面角，属于中档题．
2026年高考数学上海-17<-->2026年高考数学上海-19
全网搜索"2026年高考数学上海-18"相关
|
