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2025年高考数学上海春-15<-->2025年高考数学上海春-17
（5分）已知$a\in R$，不等式$[\tan (\dfrac{\pi }{6}x)-a][\tan (\dfrac{\pi }{6}x)-a-1] < 0$在$(0,2025)$中的整数解有$m$个．关于$m$的个数，以下不可能的是（ ）
A．0 B．338 C．674 D．1012
〖答案〗$D$
〖分析〗由题设可得$a < \tan (\dfrac{\pi }{6}x) < a+1$，结合正切函数的周期，利用函数图象，数形结合分情况讨论求解即可．
〖解答〗解：因为$[\tan (\dfrac{\pi }{6}x)-a][\tan (\dfrac{\pi }{6}x)-a-1] < 0$，所以$a < \tan (\dfrac{\pi }{6}x) < a+1$，
考虑函数$y=\tan (\dfrac{\pi }{6}x)$在$(0,2025)$的图像，以6为周期，
先考虑一条直线$y=t(t\in R)$与函数的整点交点，
注意到在一个周期$(0$，$6]$内，可能存在的整点有1，2，4，5，6，
可得$t\in \{-\sqrt{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},0,\dfrac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\}$，以下分情况讨论：
①当$t=\sqrt{3}$时，$x=2+6k$，$k=0$，1，2，$\ldots$，337，有338个整点；
②当$t=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$时，$x=1+6k$，$k=0$，1，2，$\ldots$，337，有338个整点；
③当$t=0$时，$x=6+6k$，$k=0$，1，2，$\ldots$，336，有337个整点；
④当$t=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$时，$x=5+6k$，$k=0$，1，2，$\ldots$，336，有337个整点；
⑤当$t=-\sqrt{3}$时，$x=4+6k$，$k=0$，1，2，$\ldots$，336，有337个整点，
再考虑直线$y=a$与$y=a+1$所包围的区域（不含边界），
注意到区间$(a,a+1)$的长度为1，
所以可能$0,-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\in (a,a+1)$，就有$337+337=674$个整点，故$C$可能；
因为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$与$\sqrt{3}$的距离为$\dfrac{2\sqrt{3}}{3} > 1$，所以只可能是$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$或$\sqrt{3}$中的一个$\in (a,a+1)$，就有338个整点，故$B$可能；
而当$a > \sqrt{3}$时，$\{-\sqrt{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},0,\dfrac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\}$中没有元素$\in (a,a+1)$，就有0个整点，故$A$可能；
注意到$1012=338+337+337$，但$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$与$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$的距离为$\dfrac{2\sqrt{3}}{3} > 1$，故$D$不可能．
故选：$D$．
〖点评〗本题考查正切函数的性质，考查数形结合思想方法的应用，属难题．
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