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2025年高考数学上海春-16<-->2025年高考数学上海春-18
（14分）在三棱锥$P-ABC$中，平面$PAC\bot$平面$ABC$，$PA=AC=CP=2$，$AB=BC=\sqrt{2}$．
（1）若$O$是棱$AC$的中点，证明：$BO\bot$平面$PAC$，并求三棱锥$B-OPA$的体积；
（2）求二面角$B-PC-A$的大小．
〖答案〗（1）证明过程见解析，体积为$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$；（2）$\arccos \dfrac{\sqrt{21}}{7}$．
〖分析〗（1）作出辅助线，得到线线垂直，根据面面垂直，得到线面垂直，并利用锥体体积公式求出答案；
（2）证明出$OB$，$OC$，$OP$两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法求出二面角$B-PC-A$的大小．
〖解答〗解：（1）
证明：连接$BO$，因为$AB=BC=\sqrt{2}$，所以$BO\bot AC$，
因为平面$PAC\bot$平面$ABC$，交线为$AC$，
$BO\subset$平面$ABC$，
所以$BO\bot$平面$PAC$，
因为$PA=AC=CP=2$，所以$PO\bot AC$，$AO=1$，$PO=\sqrt{A{P}^{2}-A{O}^{2}}=\sqrt{3}$，
故${S}_{\triangle OPA}=\dfrac{1}{2}OP\cdot AO=\dfrac{1}{2}\times \sqrt{3}\times 1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
$AB=\sqrt{2}$，由勾股定理得$BO=\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}=\sqrt{2-1}=1$，
又$BO\bot$平面$PAC$，
三棱锥$B-OPA$的体积$V=\dfrac{1}{3}{S}_{\triangle OPA}\cdot BO=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times 1=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$；
（2）由（1）知，$BO\bot$平面$PAC$，$OC$，$OP\subset$平面$PAC$，
所以$BO\bot OC$，$BO\bot OP$，又$PO\bot AC$，故$OB$，$OC$，$OP$两两垂直，
以$O$为坐标原点，$OB$，$OC$，$OP$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴，建立空间直角坐标系，
则$B(1,0,0),P(0,0,\sqrt{3}),C(0,1,0),A(0,-1,0)$，
$\overrightarrow{BP}=(-1,0,\sqrt{3}),\overrightarrow{PC}=(0,1,-\sqrt{3})$，
设平面$BPC$的一个法向量为$\overrightarrow{m}=(x,y,z)$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}\bot \overrightarrow{BP}}\\ {\overrightarrow{m}\bot \overrightarrow{PC}}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{BP}=(x,y,z)\cdot (-1,0,\sqrt{3})=-x+\sqrt{3}z=0\\ \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{PC}=(x,y,z)\cdot (0,1,-\sqrt{3})=y-\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，
令$z=1$得$x=y=\sqrt{3}$，故$\overrightarrow{m}=(\sqrt{3},\sqrt{3},1)$，
又平面$PCA$的一个法向量为$\overrightarrow{n}=(1,0,0)$，
故$\cos < \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} > =\dfrac{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}}{\vert \overrightarrow{m}\vert \cdot \vert \overrightarrow{n}\vert }=\dfrac{(\sqrt{3},\sqrt{3},1)\cdot (1,0,0)}{\sqrt{3+3+1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$，
由图可知，二面角$B-PC-A$为锐角，
故二面角$B-PC-A$的大小为$\arccos \dfrac{\sqrt{21}}{7}$．
〖点评〗本题考查三棱锥的体积计算，以及向量法的应用，属于中档题．
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