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2025年高考数学上海春-11<-->2025年高考数学上海春-13
（5分）在平面中，$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$是互相垂直的单位向量，向量$\overrightarrow{a}$满足$\vert \overrightarrow{a}-4\overrightarrow{{e}_{1}}\vert =2$，向量$\overrightarrow{b}$满足$\vert \overrightarrow{b}-6\overrightarrow{{e}_{2}}\vert =1$，则$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的数量投影的最大值____．
〖答案〗4．
〖分析〗设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，根据题意求得$A$、$B$所在圆的圆心和半径，然后根据数量投影的意义，结合图形求得$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的数量投影的最大值．
〖解答〗解：根据题意不妨设$\overrightarrow{{e}_{1}}=(1,0)$，$\overrightarrow{{e}_{2}}=(0,1)$，$\overrightarrow{a}=(x,y)$，$\overrightarrow{b}=(m,n)$，
则$\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{{e}_{1}}=(x-4,y),\overrightarrow{b}-6\overrightarrow{{e}_{2}}=(m,n-6)$，
由$\vert \overrightarrow{a}-4\overrightarrow{{e}_{1}}\vert =2$可得$(x-4)^{2}+y^{2}=4$，
由$\vert \overrightarrow{b}-6\overrightarrow{{e}_{2}}\vert =1$可得$m^{2}+(n-6)^{2}=1$，
设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，故$A$在以$C_{1}(4,0)$为圆心，2为半径的圆上，
$B$在以$C_{2}(0,6)$为圆心，1为半径的圆上，
过$B$作$BD\bot OA$于$D$，则$OD$即为$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的数量投影，如下所示：
因为$A$，$B$分别为两圆上任意动点，不妨固定$B$，则$OB$为定长，
设$ < \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} > =\theta$，即$\angle AOB=\theta$，故$\vert OD\vert =\vert OB\vert \cdot \cos \theta$，
因为此时$\vert OB\vert$为定长，且$\theta =\angle AOB < 180^\circ$，
故随着$\theta$的减小，$\cos \theta$增大，直至$OA$恰好与圆$C_{1}$相切时，$\vert OD\vert$取得最大值，如下所示：
在$OA$与圆$C_{1}$相切的基础上，移动点$B$，过$C_{2}$作$C_{2}E\bot OA$于$E$，故$\vert OD\vert =\vert OE\vert +\vert ED\vert$；
在△$C_{1}AO$中，$\angle C_{1}AO=90^\circ$，$C_{1}A=2$，$OC_{1}=4$，
故$\angle AOC_{1}=30^\circ$，$\angle C_{2}OE=60^\circ$，因为$\vert OC_{2}\vert =6$，
故在直角三角形$C_{2}OE$中，$\vert OC_{2}\vert =2\vert OE\vert$，则$OE=3$，即$\vert OD\vert =\vert OE\vert +\vert ED\vert =3+\vert ED\vert$；
在四边形$BDEC_{2}$中，因为$\angle DEC_{2}=\angle C_{2}ED=90^\circ$，故$\vert DE\vert \leqslant \vert BC_{2}\vert =1$，
当且仅当$BC_{2}//DE$时等号成立，从而$\vert OD\vert =3+\vert ED\vert \leqslant 3+1=4$，
综上所述：$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的数量投影的最大值为4．
故答案为：4．
〖点评〗本题考查平面向量与直线和圆的位置关系的综合应用，属难题．
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