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2025年高考数学上海春-10<-->2025年高考数学上海春-12
（5分）如图所示，正方形$ABCD$是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线$MN$为以$AD$为对称轴的抛物线的一部分，$DM=DN=3$．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料$BQPR$，当其面积有最大值时，$AQ$的长为____．
〖答案〗$\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$．
〖分析〗建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当$AQ\geqslant 3$时，矩形面积最大时为4，当$0 < AQ < 3$，设$AQ=x(0 < x < 3)$，即可得到$S$关于$x$的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值．
〖解答〗解：由题知，以$A$为原点，建立平面直角坐标系，如图，
则$M(0,1)$，$N(3,4)$，设$MN$方程为：$y=ax^{2}+b$，
所以$\left\{\begin{array}{l}0+b=1\\ 9a+b=4\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}a=\dfrac{1}{3}\\ b=1\end{array}\right.$，$MN$方程为：$y=\dfrac{1}{3}x^{2}+1$，
令矩形$BQPR$面积为$S$，
当$AQ\geqslant 3$时，$S\leqslant S_{BQNC}=1\times 4=4$，
当$0 < AQ < 3$，设$AQ=x(0 < x < 3)$，则$P(x,\dfrac{1}{3}{x}^{2}+1)$，
所以$S=(4-x)(\dfrac{1}{3}{x}^{2}+1)=-\dfrac{1}{3}{x}^{3}+\dfrac{4}{3}{x}^{2}-x+4$，
则$S\prime =-{x}^{2}+\dfrac{8}{3}x-1=-{(x-\dfrac{4}{3})}^{2}+\dfrac{7}{9}$，
令$S\prime > 0$，则$\dfrac{4-\sqrt{7}}{3} < x < \dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$，
令$S\prime < 0$，则$x > \dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$或$x < \dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$，
则$S$在$(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3},+\infty ),(-\infty ,\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})$上单调递减，在$(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3},\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})$上单调递增，
又$0 < x < 3$，$S(0)=4$，$S(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})=\dfrac{344+14\sqrt{7}}{81} > 4$，
所以当$AQ$的长为$\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$时，该矩形面积最大．
故答案为：$\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$．
〖点评〗本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
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