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2025年高考数学上海春-9<-->2025年高考数学上海春-11
（5分）已知双曲线$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{6-{a}^{2}}=1(a > 0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$．通过$F_{2}$且倾斜角为$\dfrac{\pi }{3}$的直线与双曲线交于第一象限的点$A$，延长$AF_{2}$至$B$使得$AB=AF_{1}$．若△$BF_{1}F_{2}$的面积为$3\sqrt{6}$，则$a$的值为____．
〖答案〗$\sqrt{3}$．
〖分析〗由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案．
〖解答〗
解：已知$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{6-{a}^{2}}=1$，
则$b^{2}=6-a^{2} > 0$，
解得$0 < a < \sqrt{6}$，
又$c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{6}$，
则${F}_{1}(-\sqrt{6},0)$，${F}_{2}(\sqrt{6},0)$，
设$B(x_{B}$，$y_{B})$，
又△$BF_{1}F_{2}$的面积为$3\sqrt{6}$，
则${S}_{\triangle B{F}_{1}{F}_{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot \vert {y}_{B}\vert \cdot \vert {F}_{1}{F}_{2}\vert =\sqrt{6}\vert {y}_{B}\vert =3\sqrt{6}$，
解得$y_{B}=-3$，
由题意可得直线$AB$的斜率$\tan \dfrac{\pi }{3}=\sqrt{3}$，
则方程为$y=\sqrt{3}(x-\sqrt{6})$，
将$y_{B}=-3$代入上式，
则$-3=\sqrt{3}({x}_{B}-\sqrt{6})$，
解得${x}_{B}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$，
由题意可得$\vert A{F}_{1}\vert -\vert A{F}_{2}\vert =\vert AB\vert -\vert A{F}_{2}\vert =\vert B{F}_{2}\vert =\sqrt{{(\sqrt{6}-\sqrt{3}-\sqrt{6})}^{2}+{(-3-0)}^{2}}=2\sqrt{3}$，
易知$a=\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．
〖点评〗本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题．
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