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2025年高考数学上海春-8<-->2025年高考数学上海春-10
（5分）已知$P$是一个圆锥的顶点，$PA$是母线，$PA=2$，该圆锥的底面半径是1．$B$、$C$分别在圆锥的底面上，则异面直线$PA$与$BC$所成角的最小值为____．
〖答案〗$\dfrac{\pi }{3}$．
〖分析〗过$A$作$AD//BC$交底面圆锥于$D$点，则$\angle PAD$为异面直线$PA$与$BC$所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得$\angle PAD$的取值范围，从而得所求最值．
〖解答〗解：$P$是一个圆锥的顶点，$PA$是母线，$PA=2$，该圆锥的底面半径是1，
$B$、$C$分别在圆锥的底面上，
如图，过$A$作$AD//BC$交底面圆锥于$D$点，连接$PD$，
$\because PA=PD$，$AD//BC$，则$\angle PAD$为异面直线$PA$与$BC$所成角，
$\therefore$$\cos \angle PAD=\dfrac{{\vert PA\vert }^{2}+{\vert AD\vert }^{2}-{\vert PD\vert }^{2}}{2\vert PA\vert \cdot \vert AD\vert }=\dfrac{{2}^{2}+{\vert AD\vert }^{2}-{2}^{2}}{4\vert AD\vert }=\dfrac{\vert AD\vert }{4}$，
又$0 < \vert AD\vert \leqslant 2$，
$\therefore$$0 < \dfrac{\vert AD\vert }{4}\le \dfrac{1}{2}$，即$0 < \cos \angle PAD\le \dfrac{1}{2}$，
$\because$$\angle PAD\in (0,\dfrac{\pi }{2})$，函数$y=\cos \alpha$在$\alpha \in (0,\dfrac{\pi }{2})$上单调递减，
$\therefore$$\dfrac{\pi }{3}\le \angle PAD < \dfrac{\pi }{2}$，
$\therefore$异面直线$PA$与$BC$所成角的最小值为$\dfrac{\pi }{3}$．
故答案为：$\dfrac{\pi }{3}$．
〖点评〗本题考查异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
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