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2025年高考数学上海-14<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-16
（5分）已知$A(0,1)$，$B(1,2)$，$C$在$\Gamma :x^{2}-y^{2}=1(x\geqslant 1,y\geqslant 0)$上，则△$ABC$的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值
B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值
D．既没有最大值，也没有最小值
〖答案〗$A$
〖分析〗根据题意可知$AB$的方程为$y=x+1$，故$AB$与双曲线的渐近线平行，从而可确定△$ABC$的面积无最小值，
当点$C$位于$(1,0)$时，△$ABC$的面积有最大值．
〖解答〗解：因为过点$A(0,1)$，$B(1,2)$的直线$AB$的方程为$y=x+1$，
曲线$\Gamma :x^{2}-y^{2}=1(x\geqslant 1,y\geqslant 0)$的渐近线为$y=x$，
所以$AB$与渐近线平行，
故当点$C$无限逼近渐近线时，△$ABC$在$AB$上的高无限逼近渐近线与$AB$的距离，
故△$ABC$的面积无最小值，
当点$C$位于$(1,0)$时，使得△$ABC$在边$AB$上的高最大，此时△$ABC$的面积有最大值．
故选：$A$．
〖点评〗本题主要考查双曲线的性质，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
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