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2025年高考数学上海-15<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-17
（5分）设$\lambda \in [0$，$1]$，数列$a_{n}=10n-9$，数列$b_{n}=2^{n}$．设$c_{n}=\lambda a_{n}+(1-\lambda )b_{n}$．若对任意$\lambda \in [0$，$1]$，长为$a_{n}$、$b_{n}$、$c_{n}$的线段均能构成三角形，则满足条件的$n$有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．无穷
〖答案〗$B$
〖分析〗根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{n} < {a}_{n}+{b}_{n}}\\ {{b}_{n} < {a}_{n}+{c}_{n}}\\ {{a}_{n} < {b}_{n}+{c}_{n}}\end{array}\right.$，进一步分别讨论三个不等式即可确定$n$的取值范围，最后即可确定满足条件的$n$的个数．
〖解答〗解：$\because$长为$a_{n}$，$b_{n}$，$c_{n}$的线段均能构成三角形，
$\therefore$$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{n} < {a}_{n}+{b}_{n}}\\ {{b}_{n} < {a}_{n}+{c}_{n}}\\ {{a}_{n} < {b}_{n}+{c}_{n}}\end{array}\right.$，
当$c_{n} < a_{n}+b_{n}$时，有$\lambda a_{n}+(1-\lambda )b_{n} < a_{n}+b_{n}$，即$\lambda (a_{n}-b_{n}) < a_{n}$，又$\lambda \in [0$，$1]$，
$\therefore a_{n}-b_{n} < a_{n}$，即$b_{n}=2^{n} > 0$恒成立；
当$b_{n} < a_{n}+c_{n}$时，有$b_{n} < (1+\lambda )a_{n}+(1-\lambda )b_{n}$，即$\lambda b_{n} < (1+\lambda )a_{n}$，
$\therefore$$\dfrac{{a}_{n}}{{b}_{n}}=\dfrac{10n-9}{{2}^{n}} > \dfrac{\lambda }{1+\lambda }\in (0$，$\dfrac{1}{2}]$，解得$n\in \{2$，3，4，5，$6\}$，
当$a_{n} < b_{n}+c_{n}$时，有$a_{n} < \lambda a_{n}+(2-\lambda )b_{n}$，即$(\lambda -2)b_{n} < (\lambda -1)a_{n}$，
$\therefore$$\dfrac{{a}_{n}}{{b}_{n}}=\dfrac{10n-9}{{2}^{n}} < \dfrac{\lambda -2}{\lambda -1}=1+\dfrac{1}{1-\lambda }\in [2$，$+\infty )$，即$a_{n} < 2b_{n}$解得$n\in \{1$，4，5，6，7，$...\}$
综上，$n\in \{4$，5，$6\}$，
$\therefore$满足条件的$n$有3个．
故选：$B$．
〖点评〗本题主要考查数列与不等式的综合问题，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于难题．
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