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首页 > 数学 > 知识详解（高中） > 03基本初等函数(I)

3.2.3 函数单调性的证明

3.2.2 单调性与单调区间<-->3.2.4 函数的单调性的判断

证明函数单调性的方法有：定义法（即比较法）；导数法。
实际上，用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法，定义法是基本方法，常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
一、定义法：利用增减函数的定义证明。在证明过程中，把数式的大小比较转化为求差比较（或求商比较）。
⑴转化为求差比较证明步骤：
①取值：设

$x_1$ ，

$x_2$ 为该区间内任意的两个值，且

$x_1<$ x_2$；
②作差、变形：作差

$f(x_1)-f(x_2)$ ，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；。
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；
④判断：根据定义作出结论。

(2)定义的另外两种等价形式：
设

$x_1，x_2 \in [a,b]$ ，那么
①

$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 -x_2} > 0 \Leftrightarrow f(x)$ 在

$[a,b]$ 上是增函数；

$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 -x_2} < 0 \Leftrightarrow f(x)$ 在

$[a,b]$ 上是减函数.
②

$(x_1 -x_2) [f(x_1)-f(x_2)] > 0 \Leftrightarrow f(x)$ 在

$[a,b]$ 上是增函数；

$(x_1 -x_2) [f(x_1)-f(x_2)] < 0 \Leftrightarrow f(x)$ 在

$[a,b]$ 上是减函数.

注意：
①在用定义法证明单调性时，为了确定符号，一般是将

$f(x_1)-f(x_2)$ 尽量分解出

$x_1-x_2$ 因式，再将剩下的因式化成积商的形式，或化成几个非负实数的和等，这样有利于该因式的符号的确定.
②若要证明

$f(x)$ 在区间上不上单调函数，只要举出反例即可，即只要找到两个特殊的

$x_1$ ，

$x_2$ 不满足定义即可。

⑵转化为求商比较证明程序：
①设任意的

$x_1，x_2 \in D$ ，使

$x_1< x_2$ （若

$0<x_1<x_2$ ，则

$\dfrac{x_2}{x_1}>1$ ；若

$x_1 < x_2 < 0$ ，则

$0<\dfrac{x_2}{x_1}<1$ ）；
②求商—变形—判断小于或大于1；此为关键步骤，变形要注意“因式分解”。
求商：

$\dfrac{f(x_2)}{f(x_1)}$ ；变形：化简、因式分解；判断：

$\dfrac{f(x_2)}{f(x_1)}$ 小于或大于

$1$ 。
③下明确结论，要注意商的分母的正负，即
若

$\dfrac{f(x_2)}{f(x_1)}>1，且f(x_1)>0 \Rightarrow f(x_2)>f(x_1)$
若

$\dfrac{f(x_2)}{f(x_1)}>1，且f(x_1)< 0 \Rightarrow f(x_2)<f(x_1)$ 。

二、导数法：利用函数单调性与可导函数的正负性关系证明。
设可导函数

$f(x)$ 在定义域的某个区间

$(a,b)$ 内，
如果

$f'(x)>0$ ，那么函数

$f(x)$ 在这个区间内单调递增；
如果

$f'(x)<0$ ，那么函数

$f(x)$ 在这个区间内单调递减。
求导证明函数单调性的程序：
①求函数

$f(x)$ 的导数

$f'(x)$ ；
②把

$f'(x)$ 变形，化简，因式分解，判断正负；
③下明确结论。

3.2.2 单调性与单调区间<-->3.2.4 函数的单调性的判断

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