3.2.4 函数的单调性的判断

判断函数的单调性的常用方法有：
（1）定义法（即比较法）
即“取值（定义域内）$\longrightarrow $作差$\longrightarrow $变形$\longrightarrow $ 定号 $\longrightarrow $ 判断”.
（2）图象法
先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性.
（3）直接法
就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间.
（4）导数法。
设函数$y=f(x)$在某区间内可导.
如果$f'(x)>0$，则$f(x)$为增函数；
如果$f'(x)<0$，则$f(x)$为减函数；

（5）复合法
复合函数$y=f(g(x))$在某区间D上的单调性，取决于函数$y=f(U)$与函数$U=g(x)$在其相应区间上的单调性，可归纳为：

即奇个“减”为减；偶个“减”为增。
复合法判断程序:
①把复合函数分解已知其单调性的基本函数$g(x)$和$f(U)$；
②判断函数$g(x)$和$f(U)$在各自相应区间上的单调性；
③合成（奇个“减”为减；偶个“减”为增），下结论。

（6）运算法
函数$f(x)$、$g(x)$在公共定义域内:
增函数$f(x)+$增函数$g(x)$是增函数；
减函数$f(x)+$减函数$g(x)$是减函数；
增函数$f(x)-$减函数$g(x)$是增函数；
减函数$f(x)-$增函数$g(x)$是减函数。

(7)记住几条常用的结论
①函数$y=-f(x)$与函数$y=f(x)$的单调性相反.
②$f(x)$ 与$f(x)+c$ ($c$ 为常数）具有相同的单调性；
③$k>0$，函数$f(x)$与$kf(x)$有相同的单调性；$k<0$，函数$f(x)$与$kf(x)$的单调性相反；
④当$f(x)$恒不为$0$时，函数$f(x)$与$\dfrac{1}{f(x)}$的单调性相反；
⑤当$f(x)$非负时，$f(x)$与$\sqrt{f(x)}$具有相同的单调性；
⑥当$f(x)$、$g(x)$同时为增（减）函数时，$f(x)+g(x)$为增（减）函数；
⑦设$f(x)$、$g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)$、$g(x)$
当两者都恒大于$0$时，$f(x) \cdot g(x)$是增（减）函数，
当两者都恒小于$0$时，$f(x) \cdot g(x)$是减（增）函数；
⑧奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；
⑨单调函数必有反函数（现教材没此概念），且反函数与原函数有相同的单调性；
⑩奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同；
偶函数在其对称区间上的单调性相反；

实例：

例：已知函数（a＞0，x＞0），
求证：f(x)在上是单调递增函数；
证明：设，则，.
∵==<0
∴，∴f(x)在上是单调递增的。