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3.2.4 函数的单调性的判断

3.2.3 函数单调性的证明<-->3.2.5 利用函数的单调性求最值

判断函数的单调性的常用方法有：
（1）定义法（即比较法）
即“取值（定义域内）

$\longrightarrow$ 作差

$\longrightarrow$ 变形

$\longrightarrow$ 定号

$\longrightarrow$ 判断”.
（2）图象法
先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性.
（3）直接法
就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间.
（4）导数法。
设函数

$y=f(x)$ 在某区间内可导.
如果

$f'(x)>0$ ，则

$f(x)$ 为增函数；
如果

$f'(x)<0$ ，则

$f(x)$ 为减函数；

（5）复合法
复合函数

$y=f(g(x))$ 在某区间D上的单调性，取决于函数

$y=f(U)$ 与函数

$U=g(x)$ 在其相应区间上的单调性，可归纳为：

即奇个“减”为减；偶个“减”为增。
复合法判断程序:
①把复合函数分解已知其单调性的基本函数

$g(x)$ 和

$f(U)$ ；
②判断函数

$g(x)$ 和

$f(U)$ 在各自相应区间上的单调性；
③合成（奇个“减”为减；偶个“减”为增），下结论。

（6）运算法
函数

$f(x)$ 、

$g(x)$ 在公共定义域内:
增函数

$f(x)+$ 增函数

$g(x)$ 是增函数；
减函数

$f(x)+$ 减函数

$g(x)$ 是减函数；
增函数

$f(x)-$ 减函数

$g(x)$ 是增函数；
减函数

$f(x)-$ 增函数

$g(x)$ 是减函数。

(7)记住几条常用的结论
①函数

$y=-f(x)$ 与函数

$y=f(x)$ 的单调性相反.
②

$f(x)$ 与

$f(x)+c$ (

$c$ 为常数）具有相同的单调性；
③

$k>0$ ，函数

$f(x)$ 与

$kf(x)$ 有相同的单调性；

$k<0$ ，函数

$f(x)$ 与

$kf(x)$ 的单调性相反；
④当

$f(x)$ 恒不为

$0$ 时，函数

$f(x)$ 与

$\dfrac{1}{f(x)}$ 的单调性相反；
⑤当

$f(x)$ 非负时，

$f(x)$ 与

$\sqrt{f(x)}$ 具有相同的单调性；
⑥当

$f(x)$ 、

$g(x)$ 同时为增（减）函数时，

$f(x)+g(x)$ 为增（减）函数；
⑦设

$f(x)$ 、

$g(x)$ 都是增（减）函数，则

$f(x)$ 、

$g(x)$
当两者都恒大于

$0$ 时，

$f(x) \cdot g(x)$ 是增（减）函数，
当两者都恒小于

$0$ 时，

$f(x) \cdot g(x)$ 是减（增）函数；
⑧奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；
⑨单调函数必有反函数（现教材没此概念），且反函数与原函数有相同的单调性；
⑩奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同；
偶函数在其对称区间上的单调性相反；

实例：

例：已知函数（a＞0，x＞0），
求证：f(x)在上是单调递增函数；
证明：设，则，.
∵==<0
∴，∴f(x)在上是单调递增的。

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