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3.1.5 函数的值域<-->3.1.7 函数的对应关系
函数值域的几种求法：
（1）观察法：
如$y=\dfrac{1}{2x^2 +1}$的值域可以从$x^2$入手去求.由$x^2 \geqslant 0$得$x^2 + 1 \geqslant 1 $，函数的值域为$(0,1]$；
（2）图象法：
基本初等函数，或由其经简单变换所得函数，或用导数研究极值点及单调区间时，均通过画示意图、截取、观察得值域，这是值域中的重点内容。
（3）配方法与判别式法
①判别式法：若函数$y=f(x)$可以化为一个系数含有$y$的二次方程$a(y)x^2+b(y)x+c(y)=0$，
则在$a(y) \neq 0$时，若$x \in R $则$\Delta \geqslant 0$，从而确定函数的值域，
并检验$a(y)=0$时对应的$x$的值是否在定义域内，以决定$a(y)=0$时$y$的值的取舍；
②配方法：形如$y=a(x-h)^2+k$的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的值域.
（4）函数的单调性法
确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，从而求出函数的值域，列如，$f(x)=ax+\dfrac{b}{x}(a>0,b>0)$.当利用均值不等式时，如果等号不能成立，则可考虑利用函数的单调性解题。
（5）利用函数的有界性：
形如$\sin \alpha =f(\alpha)$，$x^2=g(x)$，因为$|\sin \alpha | \leqslant 1$，$x^2 \geqslant 0 $可解出$f(\alpha)$，$g(x)$的范围，从而求出其值域或最值.
（6）利用换元法化归为基本函数的值域
①代数换元：形如$y=ax+b \pm \sqrt{cx+d}(a,b,c,d为常数,ac \neq 0)$，可设$\sqrt{cx+d}=t(t \geqslant 0)$，转化为二次函数求值域.
②三角换元：如$y=x+\sqrt{1-x^2}$，可令$x=\cos \theta$，$\theta \in [0,\pi]$，$\therefore y=\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$，$\theta \in [0,\pi]$
（7）均值不等式法：
利用均值不等式$a+b \geqslant 2\sqrt{ab}$$(a,b>0，当且仅当a=b时，等号成立)$
但要注意以下三点：
①需要同时满足“一正、二定、三相等”的条件
②熟悉常见变形：$ab \leqslant \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$；
$a^2+b^2 \leqslant \dfrac{(a+b)^2}{2}$
③若等号取不到，可考虑函数$y=x+\dfrac{a}{x}(a>0)$的单调区间.
（8）分离常数法：
形如$y=\dfrac{cx+d}{ax+b}(a \neq 0)$的函数的值域，可使用“分离常数法”求解.
（9）数形结合法
如果所给的函数由较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$可联想$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$两点连线的斜率；
（10）导数法：
如求$y=x^3+2x^2-x,x \in [1,2]$的值域，则可先使用导数法求其单调区间，然后再求值域.
3.1.5 函数的值域<-->3.1.7 函数的对应关系
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