首页 > 数学 > 知识详解（高中） > 03基本初等函数(I)

3.1.6 求函数值域的常用方法

3.1.5 函数的值域<-->3.1.7 函数的对应关系

函数值域的几种求法：
（1）观察法：
如

$y=\dfrac{1}{2x^2 +1}$ 的值域可以从

$x^2$ 入手去求.由

$x^2 \geqslant 0$ 得

$x^2 + 1 \geqslant 1$ ，函数的值域为

$(0,1]$ ；
（2）图象法：
基本初等函数，或由其经简单变换所得函数，或用导数研究极值点及单调区间时，均通过画示意图、截取、观察得值域，这是值域中的重点内容。
（3）配方法与判别式法
①判别式法：若函数

$y=f(x)$ 可以化为一个系数含有

$y$ 的二次方程

$a(y)x^2+b(y)x+c(y)=0$ ，
则在

$a(y) \neq 0$ 时，若

$x \in R$ 则

$\Delta \geqslant 0$ ，从而确定函数的值域，
并检验

$a(y)=0$ 时对应的

$x$ 的值是否在定义域内，以决定

$a(y)=0$ 时

$y$ 的值的取舍；
②配方法：形如

$y=a(x-h)^2+k$ 的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的值域.
（4）函数的单调性法
确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，从而求出函数的值域，列如，

$f(x)=ax+\dfrac{b}{x}(a>0,b>0)$ .当利用均值不等式时，如果等号不能成立，则可考虑利用函数的单调性解题。
（5）利用函数的有界性：
形如

$\sin \alpha =f(\alpha)$ ，

$x^2=g(x)$ ，因为

$|\sin \alpha | \leqslant 1$ ，

$x^2 \geqslant 0$ 可解出

$f(\alpha)$ ，

$g(x)$ 的范围，从而求出其值域或最值.
（6）利用换元法化归为基本函数的值域
①代数换元：形如

$y=ax+b \pm \sqrt{cx+d}(a,b,c,d为常数,ac \neq 0)$ ，可设

$\sqrt{cx+d}=t(t \geqslant 0)$ ，转化为二次函数求值域.
②三角换元：如

$y=x+\sqrt{1-x^2}$ ，可令

$x=\cos \theta$ ，

$\theta \in [0,\pi]$ ，

$\therefore y=\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ ，

$\theta \in [0,\pi]$
（7）均值不等式法：
利用均值不等式

$a+b \geqslant 2\sqrt{ab}$

$(a,b>0，当且仅当a=b时，等号成立)$
但要注意以下三点：
①需要同时满足“一正、二定、三相等”的条件
②熟悉常见变形：

$ab \leqslant \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$ ；

$a^2+b^2 \leqslant \dfrac{(a+b)^2}{2}$
③若等号取不到，可考虑函数

$y=x+\dfrac{a}{x}(a>0)$ 的单调区间.
（8）分离常数法：
形如

$y=\dfrac{cx+d}{ax+b}(a \neq 0)$ 的函数的值域，可使用“分离常数法”求解.
（9）数形结合法
如果所给的函数由较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由

$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 可联想

$(x_1,y_1)$ 与

$(x_2,y_2)$ 两点连线的斜率；
（10）导数法：
如求

$y=x^3+2x^2-x,x \in [1,2]$ 的值域，则可先使用导数法求其单调区间，然后再求值域.

3.1.5 函数的值域<-->3.1.7 函数的对应关系

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