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3.1.4 求函数定义域的常用方法

3.1.3 函数的定义域<-->3.1.5 函数的值域

常见的用解析式表示的函数

$f(x)$ 的定义域可以归纳如下：
（1）若

$f(x)$ 是整式，则

$f(x)$ 的定义域是

$R$ .
（2）若

$f(x)$ 是分式，则要求分母不为零.
（3）若

$f(x)=\sqrt[2n]{g(x)}(n \in N^*)$ ，则要求

$g(x) \geqslant 0$ 。
（4）当

$f(x)$ 为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合;如

$f(x)=\text{log}[g(x)](a>0且a \neq 1)$ ，则要求

$g(x)>0$ .
（5）

$y=x^0$ 的定义域是

$\{x \in R | x \neq 0 \}$ .
（6）若同时出现上述情况，则先分别找出各自的定义域，然后求交集.
（7）复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集.
（8）对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约.
（9）求含参数的函数的定义域时应进行分类讨论.
（10）抽象函数的定义域
对于无解析式的函数的定义域问题，要注意如下几点：
①

$f[g(x)]$ 的定义域为

$[a,b]$ ，指的是

$x$ 的取值范围为

$[a,b]$ ，而不是

$g(x)$ 的取值范围为

$[a,b]$ .
②若已知

$f(x)$ 定义域为

$[a,b]$ ，求函数

$f[g(x)]$ 的定义域，由不等式

$a\leqslant g(x)\leqslant b$ 解出即可；
若已知

$f[g(x)]$ 的定义域为

$[a,b]$ ，求

$f(x)$ 的定义域，相当于

$x \in [a,b]$ 时，求

$g(x)$ 的值域（即

$f(x)$ 的定义域）

实例：

函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt{|x-2|-1}}{\text{log}_2 (x-1)}$ 的定义域为_________ 。
要使函数有意义，应有 $\begin{cases}|x-2|-1 \geqslant 0 \\ x-1 >0 \\\text{log}_2 (x-1) \neq 0\end{cases}$
解得 $x \geqslant 3$ .
答案为 $[3,+ \infty)$
本题易忽视 $\text{log}_2 (x-1) \neq 0$ 这一条件。

总结：一般将求给定函数解析式的定义域问题归结为解不等式组的问题，但在解不等式组时应细心，取交集时可借助于数轴，并且要注意端点或边界值的取舍.

3.1.3 函数的定义域<-->3.1.5 函数的值域

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