1.3.2 交集

（1）交集的定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：$A\cap B$，读作：“A交B”.

符号语言表达式为：

$A\cap B=\left\{ x|x\in A,x\in B \right\}$.

若用Venn图表示，则如图阴影部分所示.

 

①要正确理解“且”的含义：A与B的公共元素都在集合$A\cap B$中；反过来，$A\cap B$的任一元素都是A与B的公共元素.

②并不是任意两个集合总有公共元素，当A与B没有公共元素时，$A\cap B=\varnothing $.

对于任意两个集合A,B，有：

①$\left( A\cap B \right)\subseteq A,\left( A\cap B \right)\subseteq B$;

②$A\cap A=A$;

③$A\cap \varnothing =\varnothing $

④$A\cap B=B\cap A$.

注意！在解题中经常用到一个等价关系：$A\cap B=A\Leftrightarrow A\subseteq B$.

 

例（广东高考）已知集合$A=\left\{ \left( x,y \right) \right.\left| x,y \right.$为实数，且${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\left. 1 \right\}$，, $B=\left\{ \left( x,y \right) \right.\left| x,y \right.$为实数，且$y=\left. x \right\}$，则$A\cap B$的元素的个数为（  ）.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

解析 （方法一）A为圆心在原点的单位圆，B为过原点的直线，故有两个交点，故选C.

（方法二）由$\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1, \\ & y=x, \\ \end{align} \right.$

可得$\left\{ \begin{align} & x=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ & y=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \end{align} \right.$   或  $\left\{ \begin{align}& x=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ & y=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \end{align} \right.$  故选C

[答案]  C