1.3.1 并集

（1）并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：$A\cup B$，读作：“A并B”.

符号语言表达式为：$A\cup B=\left\{ x|x\in A,x\in B \right\}$.

若用Venn图表示，则如图阴影部分所示.

（2）关于定义的理解：

①其中的“或”字的意义，用它连接的并列成分之间不一定是相互排斥的，

“$x\in A$或$x\in B$”这一条件，包括下列三种情况：$x\in A$，但$x\notin B$；

$x\in B$但$x\notin A$；$x\in A$，且$x\in B$（很明显，适合第三种情况的元素x构成的集合就是$A\cap B$，它不一定是空集）.

②对于集合A.B中相同的元素，在$A\cup B$中只能出现一次，因为要满足集合中元素的互异性.

（3）并集的运算性质

①$\left( A\cup B \right)\supseteq A$; $\left( A\cup B \right)\supseteq B$;

②$A\cup A=A$;

③$A\cup \varnothing =A$;

④$A\cup B=B\cup A$.

注意！在解题中经常用到一个等价关系：$A\cup B=B\Leftrightarrow A\subseteq B$.
 

例 （北京高考）已知集合$P=\left\{ x|{{x}^{2}}\leqslant 1 \right\}$，$M=\left\{ a \right\}$，若$P\cup M=P$，则$a$的取值范围是（  ）.

A.$\left( -\infty ,-1 \right] $

B.$\left[ 1,\infty  \right) $

C.$\left[ -1,1 \right] $

D.$\left( -\infty ,-1 \right]\cup \left[ 1,\infty  \right) $

解析  依题意：$P=\left[ -1,1 \right]$,

$\because P\cup M=P$,$\therefore M\subseteq P$,

又$M=\left\{ a \right\}$，

$\therefore a\in \left[ -1,1 \right]$.

故选C.

[答案] C

[总结提示]在解决集合与集合之间关系时，要认清集合的元素，紧扣集合的意义，化简给定的集合，确定集合中元素的性质.对于用描述法给出的集合$\left\{ x|x\in p\left( x \right) \right\}$，要紧扣代表元素$x$和它的特征性质$p\left( x \right)$.