1.3.3 补集

（1）全集的定义：一般地，如果一个集合含有所有研究问题中所涉及的元素，那么这个就称这个集合为全集，通常记作U.

注意！全集是相对于研究问题而言的一个相对概念，因此，全集因研究问题而异，例如在研究数集时，常常把实数集R看作全集，在立体几何中，三维空间是全集，这时平面式全集的一个子集，而在平面几何中，整个平面可以看作是一个全集。

(2)补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作$\complement _\text{_} A$，符号语言表达为：

$\complement _\text{U} A = \{ x \mid x \in \text{U} \text{且} x \notin A \}$

补集的Venn图如图中阴影部分所示。

定义可以解释为：如果从全集U中取出集合A的全部元素，则所有剩下的元素组成的集合是$\complement _\text{U} \text{A}$。

①$A\cup \complement _\text{U} A=\text{U}$

②$A\cap \complement _\text{U} A=\varnothing $

③$\complement _\text{U}(\complement _\text{U} A)=A$

④$\complement _\text{U} (A\cap B)=(\complement _\text{U} A) \cup (\complement _\text{U} B)$

⑤$\complement _\text{U} (A\cup B)=(\complement _\text{U} A) \cap (\complement _\text{U} B)$
 

例 (全国高考)设集合A=$\left\{ 4,5,7,9 \right\}$，B=$\left\{ 3,4,7,8,9 \right\}$，全集$\text{U}=A\cup B$，则集合$\complement _\text{U}(A\cap B)$中的元素共有（   ）

A.3个   B.4个   C.5个   D.6个

解析$A\cap B=\left\{ 4,7,9 \right\},A\cup B=\left\{ 3,4,5,7,8,9 \right\},\complement _\text{U} (A\cap B)=\left\{ 3,5,8 \right\}$，故选A

[答案]A