首页 > 数学 > 高考题 > 2022 > 2022年浙江

2022年高考数学浙江17

2022年高考数学浙江16<-->2022年高考数学浙江18

（4分）设点

$P$ 在单位圆的内接正八边形

$A_{1}A_{2}\ldots A_{8}$ 的边

$A_{1}A_{2}$ 上，则

$\overrightarrow{P{A}_{1}}^{2}+\overrightarrow{P{A}_{2}}^{2}+\ldots +\overrightarrow{P{A}_{8}}^{2}$ 的取值范围是　

$[12+2\sqrt{2}$ ，

$16]$ 　．
分析：以圆心为原点，

$A_{7}A_{3}$ 所在直线为

$x$ 轴，

$A_{5}A_{1}$ 所在直线为

$y$ 轴，建立平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设

$P(x,y)$ ，进而得到

$\overrightarrow{P{A}_{1}}^{2}+\overrightarrow{P{A}_{2}}^{2}+\ldots +\overrightarrow{P{A}_{8}}^{2}=8(x^{2}+y^{2})+8$ ，根据点

$P$ 的位置可求出

$x^{2}+y^{2}$ 的范围，从而得到

$\overrightarrow{P{A}_{1}}^{2}+\overrightarrow{P{A}_{2}}^{2}+\ldots +\overrightarrow{P{A}_{8}}^{2}$ 的取值范围．
解：以圆心为原点，

$A_{7}A_{3}$ 所在直线为

$x$ 轴，

$A_{5}A_{1}$ 所在直线为

$y$ 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

则

$A_{1}(0,1)$ ，

${A}_{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ ，

$A_{3}(1,0)$ ，

${A}_{4}(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ ，

$A_{5}(0,-1)$ ，

${A}_{6}(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ ，

$A_{7}(-1,0)$ ，

${A}_{8}(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ ，
设

$P(x,y)$ ，
则

$\overrightarrow{P{A}_{1}}^{2}+\overrightarrow{P{A}_{2}}^{2}+\ldots +\overrightarrow{P{A}_{8}}^{2}=\vert PA_{1}\vert ^{2}+\vert PA_{2}\vert ^{2}+\vert PA_{3}\vert ^{2}+\vert PA_{4}\vert ^{2}+\vert PA_{5}\vert ^{2}+\vert PA_{6}\vert ^{2}+\vert PA_{7}\vert ^{2}+\vert PA_{8}\vert ^{2}=8(x^{2}+y^{2})+8$ ，

$\because \cos 22.5^\circ \leqslant \vert OP\vert \leqslant 1$ ，

$\therefore$