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2022年高考数学浙江16

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（4分）已知双曲线

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$ 的左焦点为

$F$ ，过

$F$ 且斜率为

$\dfrac{b}{4a}$ 的直线交双曲线于点

$A(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，交双曲线的渐近线于点

$B(x_{2}$ ，

$y_{2})$ 且

$x_{1} < 0 < x_{2}$ ．若

$\vert FB\vert =3\vert FA\vert$ ，则双曲线的离心率是　

$\dfrac{3\sqrt{6}}{4}$ 　．
分析：过点

$A$ 作

$AA\prime \bot x$ 轴于点

$A\prime$ ，过点

$B$ 作

$BB\prime \bot x$ 轴于点

$B\prime$ ，依题意，点

$B$ 在渐近线

$y=\dfrac{b}{a}x$ 上，不妨设

$B(m,\dfrac{b}{a}m),m > 0$ ，根据题设条件可求得点

$A$ 的坐标为

$(-\dfrac{5c}{9},\dfrac{bc}{9a})$ ，代入双曲线方程，化简可得

$a$ ，

$c$ 的关系，进而得到离心率．
解：如图，过点

$A$ 作

$AA\prime \bot x$ 轴于点

$A\prime$ ，过点

$B$ 作

$BB\prime \bot x$ 轴于点

$B\prime$ ，

由于

$B(x_{2}$ ，

$y_{2})$ 且

$x_{2} > 0$ ，则点

$B$ 在渐近线

$y=\dfrac{b}{a}x$ 上，不妨设

$B(m,\dfrac{b}{a}m),m > 0$ ，
设直线

$AB$ 的倾斜角为

$\theta$ ，则

$\tan \theta =\dfrac{b}{4a}$ ，则

$\dfrac{\vert B{B}'\vert }{\vert F{B}'\vert }=\dfrac{b}{4a}$ ，即

$\dfrac{\dfrac{b}{a}m}{\vert F{B}'\vert }=\dfrac{b}{4a}$ ，则

$\vert FB\prime \vert =4m$ ，

$\therefore \vert OF\vert =c=4m-m=3m$ ，
又

$\dfrac{\vert A{A}'\vert }{\vert B{B}'\vert }=\dfrac{\vert AF\vert }{\vert BF\vert }=\dfrac{1}{3}$ ，则

$\vert A{A}'\vert =\dfrac{1}{3}\vert B{B}'\vert =\dfrac{bm}{3a}=\dfrac{bc}{9a}$ ，
又

$\dfrac{\vert F{A}'\vert }{\vert F{B}'\vert }=\dfrac{\vert AF\vert }{\vert BF\vert }=\dfrac{1}{3}$ ，则

$\vert F{A}'\vert =\dfrac{1}{3}\vert F{B}'\vert =\dfrac{4m}{3}$ ，则

$\vert {x}_{1}\vert =3m-\dfrac{4m}{3}=\dfrac{5m}{3}=\dfrac{5c}{9}$ ，

$\therefore$ 点

$A$ 的坐标为

$(-\dfrac{5c}{9},\dfrac{bc}{9a})$ ，

$\therefore$

$\dfrac{\dfrac{25{c}^{2}}{81}}{{a}^{2}}-\dfrac{\dfrac{{b}^{2}{c}^{2}}{81{a}^{2}}}{{b}^{2}}=1$ ，即

$\dfrac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\dfrac{81}{24}=\dfrac{27}{8}$ ，

$\therefore$

$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3\sqrt{6}}{4}$ ．
故答案为：

$\dfrac{3\sqrt{6}}{4}$ ．

点评：本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．

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