2022年高考数学浙江18

（14分）在

$\Delta ABC$ 中，角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 所对的边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ．已知

$4a=\sqrt{5}c$ ，

$\cos C=\dfrac{3}{5}$ ．
（Ⅰ）求

$\sin A$ 的值；
（Ⅱ）若

$b=11$ ，求

$\Delta ABC$ 的面积．
分析：（Ⅰ）根据

$\cos C=\dfrac{3}{5}$ ，确定

$C$ 的范围，再求出

$\sin C$ ，由正弦定理可求得

$\sin A$ ；
（Ⅱ）根据

$A$ ，

$C$ 的正、余弦值，求出

$\sin B$ ，再由正弦定理求出

$a$ ，代入面积公式计算即可．
解：（Ⅰ）因为

$\cos C=\dfrac{3}{5} > 0$ ，所以

$C\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，且

$\sin C=\sqrt{1-co{s}^{2}C}=\dfrac{4}{5}$ ，
由正弦定理可得：

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$ ，
即有

$\sin A=\dfrac{a\sin C}{c}=\dfrac{a}{c}\sin C=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ ；
（Ⅱ）因为

$4a=\sqrt{5}c\Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{5}}{4}c < c$ ，
所以

$A < C$ ，故

$A\in (0,\dfrac{\pi }{2})$ ，
又因为

$\sin A=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ ，所以

$\cos A=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ ，
所以

$\sin B=\sin [\pi -(A+C)]=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C=\dfrac{11\sqrt{5}}{25}$ ；
由正弦定理可得：

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}=5\sqrt{5}$ ，
所以

$a=5\sqrt{5}\sin A=5$ ，
所以

$S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times 5\times 11\times \dfrac{4}{5}=22$ ．
点评：本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题．

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