2022年高考数学浙江13

（6分）若

$3\sin \alpha -\sin \beta =\sqrt{10}$ ，

$\alpha +\beta =\dfrac{\pi }{2}$ ，则

$\sin \alpha =$ 　

$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ 　，

$\cos 2\beta =$ 　　．
分析：由诱导公式求出

$3\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{10}$ ，再由同角三角函数关系式推导出

$\sin \alpha =\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ ，由此能求出

$\cos 2\beta$ 的值．
解：

$\because 3\sin \alpha -\sin \beta =\sqrt{10}$ ，

$\alpha +\beta =\dfrac{\pi }{2}$ ，

$\therefore 3\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{10}$ ，

$\therefore \cos \alpha =3\sin \alpha -\sqrt{10}$ ，

$\because \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ ，

$\therefore \sin ^{2}\alpha +(3\sin \alpha -\sqrt{10})^{2}=1$ ，
解得

$\sin \alpha =\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ ，

$\cos \beta =\sin \alpha =\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ ，

$\cos 2\beta =2\cos ^{2}\beta -1=2\times \dfrac{90}{100}-1=\dfrac{4}{5}$ ．
故答案为：

$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ ；

$\dfrac{4}{5}$ ．
点评：本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

相关知识

无相关信息

学习笔记（共有 0 条）