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2022年高考数学浙江12<-->2022年高考数学浙江14
（6分）若$3\sin \alpha -\sin \beta =\sqrt{10}$，$\alpha +\beta =\dfrac{\pi }{2}$，则$\sin \alpha =$ $\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ ，$\cos 2\beta =$ ．
分析：由诱导公式求出$3\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{10}$，再由同角三角函数关系式推导出$\sin \alpha =\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$，由此能求出$\cos 2\beta$的值．
解：$\because 3\sin \alpha -\sin \beta =\sqrt{10}$，$\alpha +\beta =\dfrac{\pi }{2}$，
$\therefore 3\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{10}$，
$\therefore \cos \alpha =3\sin \alpha -\sqrt{10}$，
$\because \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$，
$\therefore \sin ^{2}\alpha +(3\sin \alpha -\sqrt{10})^{2}=1$，
解得$\sin \alpha =\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$，$\cos \beta =\sin \alpha =\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$，
$\cos 2\beta =2\cos ^{2}\beta -1=2\times \dfrac{90}{100}-1=\dfrac{4}{5}$．
故答案为：$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$；$\dfrac{4}{5}$．
点评：本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
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