2022年高考数学浙江14

（6分）已知函数

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{-{x^2}+2,x\leqslant 1,}\\ {x+\dfrac{1}{x}-1,x > 1,}\end{array}\right.$ 则

$f(f(\dfrac{1}{2}))=$ 　

$\dfrac{37}{28}$ 　；若当

$x\in [a$ ，

$b]$ 时，

$1\leqslant f(x)\leqslant 3$ ，则

$b-a$ 的最大值是　　．
分析：直接由分段函数解析式求

$f(f(\dfrac{1}{2}))$ ；画出函数

$f(x)$ 的图象，数形结合得答案．
解：

$\because$ 函数

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2,x\leqslant 1}\\ {x+\dfrac{1}{x}-1,x > 1}\end{array}\right.$ ，

$\therefore f(\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{4}+2=\dfrac{7}{4}$ ，

$\therefore f(f(\dfrac{1}{2}))=f(\dfrac{7}{4})=\dfrac{7}{4}+\dfrac{4}{7}-1=\dfrac{37}{28}$ ；
作出函数

$f(x)$ 的图象如图：

由图可知，若当

$x\in [a$ ，

$b]$ 时，

$1\leqslant f(x)\leqslant 3$ ，则

$b-a$ 的最大值是

$2+\sqrt{3}-(-1)=3+\sqrt{3}$ ．
故答案为：

$\dfrac{37}{28}$ ；

$3+\sqrt{3}$ ．
点评：本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．

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