2022年高考数学上海春11

（5分）已知

$P_{1}(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$P_{2}(x_{2}$ ，

$y_{2})$ 两点均在双曲线

$\Gamma :\dfrac{x^2}{a^2}-y^{2}=1(a > 0)$ 的右支上，若

$x_{1}x_{2} > y_{1}y_{2}$ 恒成立，则实数

$a$ 的取值范围为　

$[1$ ，

$+\infty )$ 　．
分析：取

$P_{2}$ 的对称点

$P_{3}(x_{2}$ ，

$-y_{2})$ ，结合

$x_{1}x_{2} > y_{1}y_{2}$ ，可得

$\overrightarrow{O{P}_{1}}\cdot \overrightarrow{O{P}_{3}} > 0$ ，然后可得渐近线夹角

$\angle MON\leqslant 90^\circ$ ，代入渐近线斜率计算即可求得．
解：

设

$P_{2}$ 的对称点

$P_{3}(x_{2}$ ，

$-y_{2})$ 仍在双曲线右支，由

$x_{1}x_{2} > y_{1}y_{2}$ ，
得

$x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} > 0$ ，即

$\overrightarrow{O{P}_{1}}\cdot \overrightarrow{O{P}_{3}} > 0$ 恒成立，

$\therefore \angle P_{1}OP_{3}$ 恒为锐角，即

$\angle MON\leqslant 90^\circ$ ，

$\therefore$ 其中一条渐近线

$y=\dfrac{1}{a}x$ 的斜率

$\dfrac{1}{a}\leqslant 1$ ，

$\therefore a\geqslant 1$ ，
所以实数

$a$ 的取值范围为

$[1$ ，

$+\infty )$ ．
故答案为：

$[1$ ，

$+\infty )$ ．

点评：本题考查了双曲线的性质，是中档题．

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