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2022年高考数学上海春11

  2022-12-16 20:50:25  

(5分)已知$P_{1}(x_{1}$,$y_{1})$,$P_{2}(x_{2}$,$y_{2})$两点均在双曲线$\Gamma :\dfrac{x^2}{a^2}-y^{2}=1(a > 0)$的右支上,若$x_{1}x_{2} > y_{1}y_{2}$恒成立,则实数$a$的取值范围为  $[1$,$+\infty )$ .
分析:取$P_{2}$的对称点$P_{3}(x_{2}$,$-y_{2})$,结合$x_{1}x_{2} > y_{1}y_{2}$,可得$\overrightarrow{O{P}_{1}}\cdot \overrightarrow{O{P}_{3}} > 0$,然后可得渐近线夹角$\angle MON\leqslant 90^\circ$,代入渐近线斜率计算即可求得.
解:

设$P_{2}$的对称点$P_{3}(x_{2}$,$-y_{2})$仍在双曲线右支,由$x_{1}x_{2} > y_{1}y_{2}$,
得$x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} > 0$,即$\overrightarrow{O{P}_{1}}\cdot \overrightarrow{O{P}_{3}} > 0$恒成立,
$\therefore \angle P_{1}OP_{3}$恒为锐角,即$\angle MON\leqslant 90^\circ$,
$\therefore$其中一条渐近线$y=\dfrac{1}{a}x$的斜率$\dfrac{1}{a}\leqslant 1$,
$\therefore a\geqslant 1$,
所以实数$a$的取值范围为$[1$,$+\infty )$.
故答案为:$[1$,$+\infty )$.

点评:本题考查了双曲线的性质,是中档题.

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