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2022年高考数学上海春12

(5分)已知函数$y=f(x)$为定义域为$R$的奇函数,其图像关于$x=1$对称,且当$x\in (0$,$1]$时,$f(x)=\ln x$,若将方程$f(x)=x+1$的正实数根从小到大依次记为$x_{1}$,$x_{2}$,$x_{3}$,$\ldots$,$x_{n}$,则$\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow \infty }(x_{n+1}-x_{n})=$ 2 .
分析:$f(x)$是周期为4的周期函数,作出图像,$\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow \infty }(x_{n+1}-x_{n})$的几何意义是两条渐近线之间的距离,由此能求出结果.
解:$\because$函数$y=f(x)$为定义域为$R$的奇函数,其图像关于$x=1$对称,且当$x\in (0$,$1]$时,$f(x)=\ln x$,
$\therefore f(x)$是周期为4的周期函数,图像如图:

将方程$f(x)=x+1$的正实数根从小到大依次记为$x_{1}$,$x_{2}$,$x_{3}$,$\ldots$,$x_{n}$,
则$\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow \infty }(x_{n+1}-x_{n})$的几何意义是两条渐近线之间的距离2,
$\therefore$$\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow \infty }(x_{n+1}-x_{n})=2$.
故答案为:2.
点评:本题考查极限的求法,考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
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