2022年高考数学上海春10

（5分）在

$\Delta ABC$ 中，

$\angle A=90^\circ$ ，

$AB=AC=2$ ，点

$M$ 为边

$AB$ 的中点，点

$P$ 在边

$BC$ 上，则

$\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{CP}$ 的最小值为　

$-\dfrac{9}{8}$ 　．
分析：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出

$\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{CP}=2x^{2}-3x$ ，再利用二次函数求最值即可．
解：建立平面直角坐标系如下，

则

$B(2,0)$ ，

$C(0,2)$ ，

$M(1,0)$ ，
直线

$BC$ 的方程为

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}=1$ ，即

$x+y=2$ ，
点

$P$ 在直线上，设

$P(x,2-x)$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{MP}=(x-1,2-x)$ ，

$\overrightarrow{CP}=(x,-x)$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{CP}=x(x-1)-x(2-x)=2x^{2}-3x=2{(x-\dfrac{3}{4})}^{2}-\dfrac{9}{8}\geqslant -\dfrac{9}{8}$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{CP}$ 的最小值为

$-\dfrac{9}{8}$ ．
故答案为：

$-\dfrac{9}{8}$ ．

点评：本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．

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