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2022年高考数学上海20

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（16分）设有椭圆方程

$\Gamma :\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ ，直线

$l:x+y-4\sqrt{2}=0$ ，

$\Gamma$ 下端点为

$A$ ，

$M$ 在

$l$ 上，左、右焦点分别为

$F_{1}(-\sqrt{2}$ ，

$0)$ 、

$F_{2}(\sqrt{2}$ ，

$0)$ ．
（1）

$a=2$ ，

$AM$ 中点在

$x$ 轴上，求点

$M$ 的坐标；
（2）直线

$l$ 与

$y$ 轴交于

$B$ ，直线

$AM$ 经过右焦点

$F_{2}$ ，在

$\Delta ABM$ 中有一内角余弦值为

$\dfrac{3}{5}$ ，求

$b$ ；
（3）在椭圆

$\Gamma$ 上存在一点

$P$ 到

$l$ 距离为

$d$ ，使

$\vert PF_{1}\vert +\vert PF_{2}\vert +d=6$ ，随

$a$ 的变化，求

$d$ 的最小值．

分析：（1）由题意可得椭圆方程为

$\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$ ，从而确定

$M$ 点的纵坐标，进一步可得点

$M$ 的坐标；
（2）由直线方程可知

$B(0,4\sqrt{2})$ ，分类讨论

$\cos \angle BAM=\dfrac{3}{5}$ 和

$\cos \angle BMA=\dfrac{3}{5}$ 两种情况确定

$b$ 的值即可；
（3）设

$P(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ ，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得

$\dfrac{\vert a\cos \theta +b\sin \theta -4\sqrt{2}\vert }{\sqrt{2}}=6-2a$ ，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得

$1\leqslant a\leqslant \dfrac{5}{3}$ 即可确定

$d$ 的最小值．
解：（1）由题意可得

$a=2,b=c=\sqrt{2}$ ，

$\Gamma :\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=1,{\;A}(0,-\sqrt{2})$ ，

$\because AM$ 的中点在

$x$ 轴上，

$\therefore M$ 的纵坐标为

$\sqrt{2}$ ，
代入

$x+y-4\sqrt{2}=0$ 得

${M}(3\sqrt{2},\sqrt{2})$ ．
（2）由直线方程可知

$B(0,4\sqrt{2})$ ，
①若

$\cos \angle BAM=\dfrac{3}{5}$ ，则

$\tan \angle BAM=\dfrac{4}{3}$ ，即

$\tan \angle OAF_{2}=\dfrac{4}{3}$ ，

$\therefore$

${OA}=\dfrac{3}{4}{OF}_{2}=\dfrac{3}{4}\sqrt{2}$ ，

$\therefore$

${b}=\dfrac{3}{4}\sqrt{2}$ ．
②若

$\cos \angle BMA=\dfrac{3}{5}$ ，则

$\sin \angle BMA=\dfrac{4}{5}$ ，

$\because$

$\angle MBA=\dfrac{\pi }{4}$ ，

$\therefore$

$\cos (\angle MBA+\angle AMB)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{3}{5}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{4}{5}=-\dfrac{\sqrt{2}}{10}$ ，

$\therefore$

$\cos \angle BAM=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$ ，

$\therefore \tan \angle BAM=7$ ．
即

$\tan \angle OAF_{2}=7$ ，

$\therefore$

${OA}=\dfrac{\sqrt{2}}{7}$ ，

$\therefore$

$b=\dfrac{\sqrt{2}}{7}$ ，
综上

${b}=\dfrac{3}{4}\sqrt{2}$ 或

$\dfrac{\sqrt{2}}{7}$ ．
（3）设

$P(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ ，
由点到直线距离公式可得

$\dfrac{\vert a\cos \theta +b\sin \theta -4\sqrt{2}\vert }{\sqrt{2}}=6-2a$ ，
很明显椭圆在直线的左下方，则

$-\dfrac{a\cos \theta +b\sin \theta -4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6-2a$ ，
即

$4\sqrt{2}-\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin (\theta +\varphi )=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}a$ ，

$\because a^{2}=b^{2}+2$ ，

$\therefore$

$\sqrt{2a^{2}-2}\sin (\theta +\varphi )=2\sqrt{2}a-2\sqrt{2}$ ，
据此可得

$\sqrt{a^{2}-1}\sin (\theta +\varphi )=2a-2$ ，

$\vert \sin (\theta +\varphi )\vert =\dfrac{\vert 2a-2\vert }{\sqrt{a^{2}-1}}\leqslant 1$ ，
整理可得

$(a-1)(3a-5)\leqslant 0$ ，即

$1\leqslant a\leqslant \dfrac{5}{3}$ ，
从而

$d=6-2a\geqslant 6-2\times \dfrac{5}{3}=\dfrac{8}{3}$ ．
即

$d$ 的最小值为

$\dfrac{8}{3}$ ．
点评：本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题．

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