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2022年高考数学上海21

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（18分）数列

$\{a_{n}\}$ 对任意

$n\in N^{*}$ 且

$n\geqslant 2$ ，均存在正整数

$i\in [1$ ，

$n-1]$ ，满足

$a_{n+1}=2a_{n}-a_{i}$ ，

$a_{1}=1$ ，

$a_{2}=3$ ．
（1）求

$a_{4}$ 可能值；
（2）命题

$p$ ：若

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{8}$ 成等差数列，则

$a_{9} < 30$ ，证明

$p$ 为真，同时写出

$p$ 逆命题

$q$ ，并判断命题

$q$ 是真是假，说明理由；
（3）若

$a_{2m}=3^{m}$ ，

$(m\in N^{*})$ 成立，求数列

$\{a_{n}\}$ 的通项公式．
分析：（1）利用递推关系式可得

$a_{3}=5$ ，然后计算

$a_{4}$ 的值即可；
（2）由题意可得

$a_{n}=2{n}-1({n}\in [1,8],{n}\in {N}^{*})$ ，则

$a_{9}=2a_{8}-a_{i} < 30$ ，从而命题为真命题，给出反例可得命题

$q$ 为假命题．
（3）由题意可得

$a_{2m+2}=2a_{2m+1}-a_{i}(i\leqslant 2m)$ ，

$a_{2m+1}=2a_{2m}-a_{j}(j\leqslant 2m-1)$ ，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式．
解：（1）

$a_{3}=2a_{2}-a_{1}=5$ ，

$a_{4}=2a_{3}-a_{2}=7$ 或

$a_{4}=2a_{3}-a_{1}=9$ ．
（2）

$\because a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$a_{3}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{5}$ ，

$a_{6}$ ，

$a_{7}$ ，

$a_{8}$ 为等差数列，

$\therefore$

${d}=2,a_{n}=2{n}-1({n}\in [1,8],{n}\in {N}^{*})$ ，

$a_{9}=2a_{8}-a_{i}=30-a_{i} < 30$ ．
逆命题

$q$ ：若

$a_{9} < 30$ ，则

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$a_{3}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{5}$ ，

$a_{6}$ ，

$a_{7}$ ，

$a_{8}$ 为等差数列是假命题，举例：

$a_{1}=1$ ，

$a_{2}=3$ ，

$a_{3}=5$ ，

$a_{4}=7$ ，

$a_{5}=9$ ，

$a_{6}=11$ ，

$a_{7}=13$ ，

$a_{8}=2a_{7}-a_{5}=17$ ，

$a_{9}=2a_{8}-a_{7}=21$ ．
（3）因为

$a_{2m}=3^{m}$ ，

$\therefore$

$a_{2m+2}=3^{m+1},a_{2m+2}=2a_{2m+1}-a_{i}(i\leqslant 2m)$ ，

$a_{2m+1}=2a_{2m}-a_{j}(j\leqslant 2m-1)$ ，

$\therefore a_{2m+2}=4a_{2m}-2a_{j}-a_{i}$ ，

$\therefore$

$2a_{j}+a_{i}=4a_{2m}-a_{2m+2}=4\times 3^{m}-3^{m+1}=3^{m}=a_{2m}$ ，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明

$a_{n+1} > a_{n}$ 恒成立：
当

$n=1$ ，

$a_{2} > a_{1}$ 明显成立，
假设

$n=k$ 时命题成立，即

$a_{k} > a_{k-1} > a_{k-1}\dotsb > > a_{2} > a_{1} > 0$ ，
则

$a_{k+1}-a_{k}=2a_{k}-a_{i}-a_{k}=a_{k}-a_{i} > 0$ ，则

$a_{k+1} > a_{k}$ ，命题得证．
回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：
1．若

$j=2$

$m-1$ ，则

$a_{2m}=2a_{j}+a_{i}=2a_{2m-1}+a_{i} > a_{2m-1}-a_{i}$ 矛盾，
2．若

$j=2$

$m-2$ ，则

$a_{j}=3^{m-1}$ ，

$\therefore$

$a_{i}=3^{m}-2a_{j}=3^{m-1}$ ，

$\therefore i=2m-2$ ，
此时

$a_{2m+1}=2a_{2m}-a_{j}=2\times 3^{m}-3^{m-1}=5\times 3^{m-1}$ ，

$\therefore$

$a_{n}=\left\{\begin{array}{cc}{1}&{n=1}\\ {5\times 3^{\frac{n-3}{2}}}&{n=2k+1,k\in N^{*}}\\ {3^{\frac{n}{2}}}&{n=2k,k\in N^{*}}\end{array}\right.$ ，
3．若

$j < 2$

$m-2$ ，则

$2a_{j} < 2\times 3^{m-1}$ ，

$\therefore$

$a_{i}=3^{m}-2a_{j} > 3^{m-1}$ ，

$\therefore j=2m-1$ ，

$\therefore a_{2m+2}=2a_{2m+1}-a_{2m-1}$ （由（2）知对任意

$m$ 成立），

$a_{6}=2a_{5}-a_{3}$ ，
事实上：

$a_{6}=2a_{5}-a_{2}$ 矛盾．
综上可得

$a_{n}=\left\{\begin{array}{cc}{1}&{n=1}\\ {5\times 3^{\frac{n-3}{2}}}&{n=2k+1,k\in N^{*}}\\ {3^{\frac{n}{2}}}&{n=2k,k\in N^{*}}\end{array}\right.$ ．
点评：本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属于难题．

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