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2022年高考数学上海19

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（14分）在如图所示的五边形中，

$AD=BC=6$ ，

$AB=20$ ，

$O$ 为

$AB$ 中点，曲线

$CD$ 上任一点到

$O$ 距离相等，角

$\angle DAB=\angle ABC=120^\circ$ ，

$P$ ，

$Q$ 关于

$OM$ 对称，

$MO\bot AB$ ；
（1）若点

$P$ 与点

$C$ 重合，求

$\angle POB$ 的大小；
（2）

$P$ 在何位置，求五边形面积

$S$ 的最大值．

分析：（1）在

$\Delta OBC$ 中，直接利用余弦定理求出

$OP$ ，再结合正弦定理求解；
（2）利用五边形

$CDQMP$ 的对称性，将所求的面积化为四边形

$PMNC$ 的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题．
解：（1）点

$P$ 与点

$C$ 重合，由题意可得

$OB=10$ ，

$BC=6$ ，

$\angle ABC=120^\circ$ ，
由余弦定理可得

$OP^{2}=OB^{2}+BC^{2}-2OB\cdot BC\cos \angle ABC=36+100-2\times 6\times 10\times (-\dfrac{1}{2})=196$ ，
所以

$OP=14$ ，在

$\Delta OBP$ 中，由正弦定理得

$\dfrac{OP}{\sin 120^\circ }=\dfrac{BP}{\sin \angle POB}$ ，
所以

$\dfrac{14}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{6}{\sin \angle POB}$ ，解得

$\sin \angle POB=\dfrac{3\sqrt{3}}{14}$ ，
所以

$\angle POB$ 的大小为

$\arcsin \dfrac{3\sqrt{3}}{14}$ ；
（2）如图，连结

$QA$ ，

$PB$ ，

$OQ$ ，

$OP$ ，

$\because$ 曲线

$CMD$ 上任意一点到

$O$ 距离相等，

$\therefore OP=OQ=OM=OC=14$ ，

$\because P$ ，

$Q$ 关于

$OM$ 对称，

$\therefore P$ 点在劣弧

$CM$ 中点或劣弧

$DM$ 的中点位置，

$S_{\Delta QOM}=S_{\Delta POM}=\alpha$ ，
则

$\angle AOQ=\angle BOP=S_{\Delta BOP}=\dfrac{\pi }{2}-\alpha$ ，
则五边形面积

$S=2(S_{\Delta AOQ}+S_{\Delta QOM})$

$=2[\dfrac{1}{2}\cdot OQ\cdot OA\cdot \sin (\dfrac{\pi }{2}-\alpha )+\dfrac{1}{2}\cdot OQ\cdot OM\cdot \sin \alpha ]$

$=196\sin \alpha +140\cos \alpha$

$=28\sqrt{74}\sin (\alpha +\varphi )$ ，其中

$\tan \varphi =\dfrac{5}{7}$ ，
当

$\sin (\alpha +\varphi )=1$ 时，

${{S}_{MQABP}}$ 取最大值

$28\sqrt{74}$ ，

$\therefore$ 五边形

$MQABP$ 面积

$S$ 的最大值为

$28\sqrt{74}$ ．

点评：本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题．

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