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2022年高考数学上海16<-->2022年高考数学上海18
（14分）如图所示三棱锥，底面为等边ΔABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP=AC=2．
（1）求三棱锥体积VP−ABC；
（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．
分析：（1）直接利用体积公式求解；
（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PAC的法向量，即可求解．
解：（1）在三棱锥P−ABC中，因为PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC，
又O为AC边中点，所以ΔPAC为等腰三角形，
又AP=AC=2．所以ΔPAC是边长为2的为等边三角形，
∴PO=√3，三棱锥体积VP−ABC=13SΔABC⋅PO=13×√34×22×√3=1，
（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P(0，0，√3)，B(√3，0，0)，C(0，1，0)，M(√32，12，0)，
→PM=(√32，12，−√3)，
平面PAC的法向量→OB=(√3，0，0)，
设直线PM与平面PAC所成角为θ，
则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sinθ=|→PM⋅→OB|→PM|⋅|→OB||=32√3×2=√34，
所以PM与面PAC所成角大小为arcsin√34．
点评：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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