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2022年高考数学上海16

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（5分）设集合

$\Omega =\{(x$ ，

$y)\vert (x-k)^{2}+(y-k^{2})^{2}=4\vert k\vert$ ，

$k\in Z\}$
①存在直线

$l$ ，使得集合

$\Omega$ 中不存在点在

$l$ 上，而存在点在

$l$ 两侧；
②存在直线

$l$ ，使得集合

$\Omega$ 中存在无数点在

$l$ 上；(　　)
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
分析：分

$k=0$ ，

$k > 0$ ，

$k < 0$ ，求出动点的轨迹，即可判定．
解：当

$k=0$ 时，集合

$\Omega =\{(x$ ，

$y)\vert (x-k)^{2}+(y-k^{2})^{2}=4\vert k\vert$ ，

$k\in Z\}=\{(0,0)\}$ ，
当

$k > 0$ 时，集合

$\Omega =\{(x$ ，

$y)\vert (x-k)^{2}+(y-k^{2})^{2}=4\vert k\vert$ ，

$k\in Z\}$ ，
表示圆心为

$(k,k^{2})$ ，半径为

$r=2\sqrt{\;k}$ 的圆，
圆的圆心在直线

$y=x^{2}$ 上，半径

$r=f(k)=2\sqrt{k}$ 单调递增，
相邻两个圆的圆心距

$d=\sqrt{(k+1-k)^{2}+[(k+1)^{2}-{k}^{2}]^{2}}=\sqrt{4{k}^{2}+4k+2}$ ，相邻两个圆的半径之和为

$l=2\sqrt{k}+2\sqrt{k+1}$ ，
因为

$d > l$ 有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当

$k < 0$ 时，同

$k > 0$ 的情况，故存在直线

$l$ ，使得集合

$\Omega$ 中不存在点在

$l$ 上，而存在点在

$l$ 两侧，故①正确，
若直线

$l$ 斜率不存在，显然不成立，
设直线

$l:y=mx+n$ ，若考虑直线

$l$ 与圆

$(x-k)^{2}+(y-k^{2})^{2}=4\vert k\vert$ 的焦点个数，

$d=\dfrac{\vert mk+n-{k}^{2}\vert }{\sqrt{{m}^{2}+1}}$ ，

$r=2\sqrt{\vert k\vert }$ ，
给定

$m$ ，

$n$ ，当

$k$ 足够大时，均有

$d > r$ ，
故直线

$l$ 只与有限个圆相交，②错误．
故选：

$B$ ．
点评：本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．

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