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2022年高考数学上海15<-->2022年高考数学上海17
（5分）设集合$\Omega =\{(x$，$y)\vert (x-k)^{2}+(y-k^{2})^{2}=4\vert k\vert$，$k\in Z\}$
①存在直线$l$，使得集合$\Omega$中不存在点在$l$上，而存在点在$l$两侧；
②存在直线$l$，使得集合$\Omega$中存在无数点在$l$上；( )
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
分析：分$k=0$，$k > 0$，$k < 0$，求出动点的轨迹，即可判定．
解：当$k=0$时，集合$\Omega =\{(x$，$y)\vert (x-k)^{2}+(y-k^{2})^{2}=4\vert k\vert$，$k\in Z\}=\{(0,0)\}$，
当$k > 0$时，集合$\Omega =\{(x$，$y)\vert (x-k)^{2}+(y-k^{2})^{2}=4\vert k\vert$，$k\in Z\}$，
表示圆心为$(k,k^{2})$，半径为$r=2\sqrt{\;k}$的圆，
圆的圆心在直线$y=x^{2}$上，半径$r=f(k)=2\sqrt{k}$单调递增，
相邻两个圆的圆心距$d=\sqrt{(k+1-k)^{2}+[(k+1)^{2}-{k}^{2}]^{2}}=\sqrt{4{k}^{2}+4k+2}$，相邻两个圆的半径之和为$l=2\sqrt{k}+2\sqrt{k+1}$，
因为$d > l$有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当$k < 0$时，同$k > 0$的情况，故存在直线$l$，使得集合$\Omega$中不存在点在$l$上，而存在点在$l$两侧，故①正确，
若直线$l$斜率不存在，显然不成立，
设直线$l:y=mx+n$，若考虑直线$l$与圆$(x-k)^{2}+(y-k^{2})^{2}=4\vert k\vert$的焦点个数，
$d=\dfrac{\vert mk+n-{k}^{2}\vert }{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，$r=2\sqrt{\vert k\vert }$，
给定$m$，$n$，当$k$足够大时，均有$d > r$，
故直线$l$只与有限个圆相交，②错误．
故选：$B$．
点评：本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．
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