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2022年高考数学上海15

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（5分）如图正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$P$ 、

$Q$ 、

$R$ 、

$S$ 分别为棱

$AB$ 、

$BC$ 、

$BB_{1}$ 、

$CD$ 的中点，联结

$A_{1}S$ ，

$B_{1}D$ ．空间任意两点

$M$ 、

$N$ ，若线段

$MN$ 上不存在点在线段

$A_{1}S$ 、

$B_{1}D$ 上，则称

$MN$ 两点可视，则下列选项中与点

$D_{1}$ 可视的为(　　)

A．点

$P$ B．点

$B$ C．点

$R$ D．点

$Q$
分析：线段

$MN$ 上不存在点在线段

$A_{1}S$ 、

$B_{1}D$ 上，即直线

$MN$ 与线段

$A_{1}S$ 、

$B_{1}D$ 不相交，因此所求与

$D_{1}$ 可视的点，即求哪条线段不与线段

$A_{1}S$ 、

$B_{1}D$ 相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断．
解：线段

$MN$ 上不存在点在线段

$A_{1}S$ 、

$B_{1}D$ 上，即直线

$MN$ 与线段

$A_{1}S$ 、

$B_{1}D$ 不相交，
因此所求与

$D_{1}$ 可视的点，即求哪条线段不与线段

$A_{1}S$ 、

$B_{1}D$ 相交，
对

$A$ 选项，如图，连接

$A_{1}P$ 、

$PS$ 、

$D_{1}S$ ，因为

$P$ 、

$S$ 分别为

$AB$ 、

$CD$ 的中点，

$\therefore$ 易证

$A_{1}D_{1}//PS$ ，故

$A_{1}$ 、

$D_{1}$ 、

$P$ 、

$S$ 四点共面，

$\therefore D_{1}P$ 与

$A_{1}S$ 相交，

$\therefore A$ 错误；

对

$B$ 、

$C$ 选项，如图，连接

$D_{1}B$ 、

$DB$ ，易证

$D_{1}$ 、

$B_{1}$ 、

$B$ 、

$D$ 四点共面，
故

$D_{1}B$ 、

$D_{1}R$ 都与

$B_{1}D$ 相交，

$\therefore B$ 、

$C$ 错误；

对

$D$ 选项，连接

$D_{1}Q$ ，由

$A$ 选项分析知

$A_{1}$ 、

$D_{1}$ 、

$P$ 、

$S$ 四点共面记为平面

$A_{1}D_{1}PS$ ，

$\because D_{1}\in$ 平面

$A_{1}D_{1}PS$ ，

$Q\notin$ 平面

$A_{1}D_{1}PS$ ，且

$A_{1}S\subset$ 平面

$A_{1}D_{1}PS$ ，点

$D_{1}\notin A_{1}S$ ，

$\therefore D_{1}Q$ 与

$A_{1}S$ 为异面直线，
同理由

$B$ ，

$C$ 选项的分析知

$D_{1}$ 、

$B_{1}$ 、

$B$ 、

$D$ 四点共面记为平面

$D_{1}B_{1}BD$ ，

$\because D_{1}\in$ 平面

$D_{1}B_{1}BD$ ，

$Q\notin$ 平面

$D_{1}B_{1}BD$ ，且

$B_{1}D\subset$ 平面

$D_{1}B_{1}BD$ ，点

$D_{1}\notin B_{1}D$ ，

$\therefore D_{1}Q$ 与

$B_{1}D$ 为异面直线，
故

$D_{1}Q$ 与

$A_{1}S$ ，

$B_{1}D$ 都没有公共点，

$\therefore D$ 选项正确．

故选：

$D$ ．
点评：本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题．

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